最大元と最小元をもつことの証明について

有限な全順序集合が、最大元と最小元をもつことを位数に関する帰納法で証明をしたいです。最大元をもつことは位数からどのように導けばよいのでしょうか。どなたかご教授ください。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/08/27 19:53

その方法で良いでしょう。

有限集合の位数が 1 なら、唯一の元が最大元かつ最小元です。

位数 n の順序集合が最大元と最小元を持つと仮定すると、
位数 n+1 の順序集合を、どれかひとつの元からなる 1 元集合と
それ以外の n 個の元からなる集合に分けて、
分けたそれぞれの集合に最大元と最小元があります。
両方の最大元のうち小さくないほうが n+1 元集合の最大値、
両方の最小元のうち大きくないほうが n+1 元集合の最小値です。
こうして、位数 n+1 の集合にも最大元と最小元がありました。

よって数学的帰納法により、
有限な全順序集合は最大元と最小元を持ちます。