nCrってn!/r!（n-r）!でも表されますがこれって何故r!（n-r）！でわっているんですか？

nCrってn!/r!（n-r）!でも表されますがこれって何故r!（n-r）！でわっているんですか？
まぁ覚えれば良いんですが何でこんな式なのかふと気になりまして…

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/09/08 11:07

例えば、A,B,Cの3個から2個を選んで並べると、

AB
AC
BC
BA
CA
CB
の6通り。
(4個から2個なら、4P2だから12通り。)

この6通りは順番を考えに入れてる並び方。

組み合わせが順番は関係ないから、上の例だと
ABとBAは同じもの。同様にACとCAも、BCとCBも同じもの。
半分が同じものだから、3C2=3P2/2=3通り。

ちゃんとした数学的な説明は、教科書に書いて有る。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/09/08 12:41

まあ「組合せ」なので、並び順は区別しない数え方であり

・n 個の並べ方 n!
のうちに、
・r 個の並べ方 r!
と
・残り (n - r)個の並べ方 (n - r)!
がそれぞれ重複していることになる。

なので、そのダブリ数を「１つ」と補正するために割っている。

「並び順」を区別する「順列（並べ方）」であれば、
・自分自身（r 個）の並べ方 r!
は区別するので、
・残り (n - r)個の並べ方 (n - r)!
（これは着目していないので、並べ方は関係ない）
だけの重複を補正するため
　nPr = n!/(n - r)!
になります。