ある確率を考えているのですが、どうアプローチしようかと困っています。お知恵を拝借できれば幸いです。
52枚のトランプを10セット用意して10人に渡し、その10人が同時にカードを1枚ずつ抜き出すという試行を考えます。52枚を抜き出すときの確率分布は一様分布です。(すなわちカードはすべて1/52の確率で選ばれます)
なお、ここでの「カードが一致する」とは数字も色もマークも同じということを意味します。
(1)10人のカードのうち、一致しているものがある確率はどれだけですか
(2)この試行で一致するカードの枚数の期待値は何枚になりますか
(3)この試行を3回繰り返したとき、3回とも誰かとカードが一致する人は何人いますか
(1)は重複順列から求められると思います。つまり、重複しない確率は
P(52,10)=52P10/52Π10=52!/(42!*10^52)
(順列をnPr、重複順列をnΠr、nの階乗をn!、nのr乗を
n^rとあらわしています)
ですので1-P(52,10)が求める確率だと思うのですが、(2)と(3)をどう考えればいいか検討がつきません。わかる方、いらっしゃいましたら教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)は、質問者さんの考え方で合っていますが、10^52ではなく52^10ですね。
(2)は、#1さんの考え方ですと、4枚以上になるとうまくいかないと思います。例えば、一致するカードが4枚の場合、同じカードが4枚の場合だけでなく、2枚ずつの組が2つ、という場合も考えなければいけないと思います。このような場合も含めて場合分けすれば計算できると思いますが、面倒そうですね。私は、時間がかかりそうなのであきらめました。
このような問題の場合は、正確な値を求める必要がなければ、モンテカルロ法を使うのがよいと思います。これは、コンピュータに何度も繰り返し実験させるなどして、近似的な解を求める方法です。回数を多くすれば、誤差が小さくなります。
ちょうどC言語を学習してるところだったので、試しにプログラムを作って、1億回ほどコンピュータに計算させてみました。結果は、以下のようになりました。(1)は自信がありますが、(2)、(3)は間違っているかもしれません。
(1)0.602890066
(2)1.603551747
(3)0.04126594
余談ですが、(1)の計算の際、プログラムに間違いは見つからないのに、どうしても結果が理論値と合わずにしばらく悩みました。結局、原因は乱数でした。モンテカルロ法を使う場合には乱数に気をつけなければなりませんね。勉強になりました。
ありがとうございます。1試行で平均1.6人が一致して、3試行を25回繰り返すと3試行を通して誰かと一致する人がでるんですね。
(1)はタイプミスです。確率計算が複雑になるのは避けられそうにないですね…。
モンテカルロ法ですが、私の場合は順序が逆でして、モンテカルロ法で確率値は出てるんですけど、それは理論値にどれぐらい近いのか、ということが知りたいのです。(端的にいえば、モンテカルロで求めた値は本当に正しいんだろうか?ということなんです。シミュレーションは理論を補足するものでしかないので…。)
ちなみに、C言語の標準ライブラリに入っているrand()は線形合同法を使って作られています。これはあまり分布がよくないようです。分布のよい乱数としてはMersenne Twistが有名ですね。
No.1
- 回答日時:
あんまり自信ないですけど以下のようにやればいいと思います。
(2)
A B C D E F G H I K
○ ○ × × × × × × × ×
まず10人を上のようにAさん、Bさん,・・・と考えていきたいと思います。i(i=0,1,2,・・・,10)枚カードが一致する確率をP(i)とします。
簡単に考えて例えばi=2枚一致したとしましょう。そしてその一致したカードをスペードのエースだとします。そしてその一致した人がAさん、Bさんとします。一致したのが○、それ以外が×とすると、今の状況では上図のようになりますね。
すると×のところは当然スペードのエース以外ですが、×の内訳もお互い違うカードにならなければいけません。よってその×の内訳は51P8通りになります。
以上を考えると,上図のようになる確率Pa(2)は
Pa(2)=1×1×51P8/52^10
そしてAさん、Bさんが一致するカードはスペードのエース以外にその他51枚あるので、「AさんとBさんがカードが一致する確率」Pb(2)は
Pb(2)=52*Pa(2)=51P8/52^9
さらに適当な二人が二枚一致する組み合わせは10C2通りなので「二人カードが一致する確率」P(2)は
P(2)=10C2*Pb(2)=10C2*51P8/52^9
となります。一般にi枚一致する時は、上記の手順と同様にすると,P(i)は
P(i)=10Ci*51P(10-i)/52^9
よって期待値をEとすると
E=Σ{i=0,10}P(i)*i
で求まるかと・・・。
(3)
一致する人数をi(i=0,1,2,・・・,9、ここでiが9までということに注意!)人とする。i人とカードが一致する確率をP'(i)とする。求める人数は期待値なので、それをEとして
E=Σ{i=0,9}P'(i)*i
で求まるかと・・・。P'(i)は頑張って求めて下さい。
考え方のヒントになります。ありがとうございます。
(2)ですが、#2さんもおっしゃてるように4枚以上が一致するときの場合分けが入っていません。ということを考慮すると、まともに求めようと思ったら計算が非常に複雑になりそうな気がしています。(3)については期待値ということですが、いずれにしても確率値は求めなきゃいけませんね。これも(2)と同様に複数の一致グループに分かれることも考慮する必要がありますね。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数学A、確率の問題です。 nを4以上の自然数とする。数字の1からnが書かれたカードが1枚ずつ、合計n 3 2023/07/02 22:54
- 統計学 確率の問題です。 7 2022/05/07 01:08
- 数学 数学の問題です 「ジョーカーを除く1組のトランプ52枚から1枚のカードを引くとき、次の確率を求めよ。 5 2022/04/06 18:18
- 数学 数学A 確率 赤、青、黄、緑の4色のカードが5枚ずつあり、各色のカードに1から5までの数字が1つずつ 4 2023/04/21 10:06
- 数学 1から9の数字を書いたカードが一枚ずつある。これらの9枚のカードから同時に2枚を取り出し、数字の大き 5 2022/04/25 15:38
- 数学 『確率Ⅹ/2』 6 2022/11/21 00:00
- 数学 確率について ①事象Aの確率をpとし、事象が起こるか起こらないかの独立試行をn回繰り返した時、Aの起 1 2022/06/12 16:25
- 高校 数学1 6 2022/07/02 10:54
- 統計学 確率統計の問題です。 3 2022/04/07 04:39
- 数学 場合の数、確率 47 (教科書章末問題) 再掲載 2 2023/08/22 11:50
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
高校数学についてです。 しょう...
-
一般常識を教えてください。1割...
-
反応速度や濃度は、大きいor小...
-
P(A|B)などの読み方
-
確率の問題について
-
75%を3回連続で引かない確率
-
「天文学的に低い確率」とは?
-
30%の確率が5回連続で起きない...
-
確率0.02%って10000人に2人です...
-
確率の問題です。
-
じゃんけん等の確率50%の勝負...
-
中二 確率 100円硬貨が1枚、50...
-
五分を6回連続で外すのはなん...
-
運が悪いのでしょうか? いつも...
-
「○○通りのパターンがある」の...
-
確率の計算に関する質問です。 ...
-
【高校数学】確率の問題
-
確率の問題 数学と実生活と
-
確率の問題
-
同じ運命数の人と会う確率って...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
一般常識を教えてください。1割...
-
確率の問題 数学と実生活と
-
数学の質問です。 一枚の硬貨を...
-
30%の確率が5回連続で起きない...
-
確率0.02%って10000人に2人です...
-
75%を3回連続で引かない確率
-
P(A|B)などの読み方
-
五分を6回連続で外すのはなん...
-
ほぼ確実って、どういう意味で...
-
「○○通りのパターンがある」の...
-
1個のサイコロを3回投げる時、...
-
3σについて教えてください(基...
-
BINGが間違えた、とっても簡単...
-
イケメンに生まれる確率と、金...
-
AとBが2回ジャンケンをします。...
-
確率の分数式において同様に確...
-
確率
-
子供が親より先に死ぬ確率は計...
-
反応速度や濃度は、大きいor小...
-
会う確率はどのくらい? 徒歩...
おすすめ情報