Rは環。I,JはRのイデアル。I,Jが定まれば{a+b|a∈I,b∈J}が一意に定まることを示せ。

Rは環。I,JはRのイデアル。I,Jが定まれば{a+b|a∈I,b∈J}が一意に定まることを示せ。
これを示すには、I=I’かつJ=J’ならば{a+b|a∈I,b∈J}={a+b|a∈I’,b∈J’}を示せば良いですか？

質問者からの補足コメント

• R の部分集合 S = { a+b | a∈I, b∈J } が一意に定まることは、流石に自明でしょう。
  
  これを証明したいと思っています。

    補足日時：2021/10/04 22:00

• ＝を同値類とみれば、普段のwell-definedに定まることを示す証明と同様にすれば証明できるはずです。

    補足日時：2021/10/04 22:01

• 同値類ではありません。同値関係です。

    補足日時：2021/10/04 22:01

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/04 19:33

環 R の部分集合 I,J が与えられれば

R の部分集合 S = { a+b | a∈I, b∈J } が一意に定まることは、流石に自明でしょう。
示さなければいけないのは、 I,J が R のイデアルであるとき、 S もイデアルであること
のほうじゃないのかな？ 教科書を読み違えているのか、教科書自体が混乱してるのか...

(1) S が R の加法部分群であること。
S の任意の元 x,y に対して、 x = a+b, y = c+d, a,c∈I, b,d∈J となる a,b,c,d が在る。
x,y が R の元であることから x+y = (a+b)+(c+d) = (a+c)+(b+d).
I,J が加法部分群であることから a+c∈I, b+d∈J.
よって、x+y∈S.

I,J が加法部分群であることから (-a)∈I, (-b)∈J.
よって、 (a+b)+((-a)+(-b)) = (a+(-a))+(b+(-b)) = 0+0 = 0.
これは、 -(a+b) = (-a)+(-b) ∈ S であることを示している。

(2) SR = S であること。
S の任意の元 x = a+b, a∈I, b∈J、R の任意の元 y について、
xy = (a+b)y = ay+by.
I,J がイデアルであることから ay ∈ I, by∈ J.
よって、 xy = ay+by ∈ S.

(1)(2) により、 S は R のイデアルの定義を満たす。