微分方程式の解に関して

u'=5√uで実数全体で微分可能な解を総て出すにはどのように求めたらよいでしょうか？またそれらが総ての解であることはどう証明できますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/19 13:33

du/dx = 5√u

(1) u ≠ 0 である範囲では、
変数分離して ∫du/√u = 5∫dx より
2√u = 5x + C. すなわち
u = (1/4)(5x + C)^2 ただし x > -C/5.

(2) u = 0 となる x に対しては、
du/dx = 0.

(2) の解どうしは、
x のある範囲で恒等的に 0 である
関数 u = 0 として接続できる。

(1) の解と (2) の解は、
(x, u) = (-C/2, 0) の点で接続できる。

以上より、実数全体で微分可能な解としては、
・ 任意の実数 x に対して u = 0 となる関数 u.
・ 任意の実定数 C について
　x > -C/5 とき u = (1/4)(5x + C)^2,
　x ≦ -C/5 とき u = 0.
　となる関数 u.
が挙げられる。

この回答へのお礼

ありがとうございます
こちらの回答で理解できました

お礼日時：2021/10/24 17:50

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/10/19 07:42

u=u(x)とする。

・必要条件
u≠0 とすると
　du/√u=5 → 2√u=5x+2C → u=(5x/2+C)²

また、上で除外した u=0 も解であることは自明。

・十分条件
　u'=5(5x/2+C)=5√u
となり、式を満たす。

ただし、u'=5√u≧0 なので
　u'=5(5x/2+C)≧0 → x≧-2C/5


まとめと
　u=5(5x/2+C) (x≧-2C/5)
または
　u=0　(∀x∈ℝ)