1から5までの5枚のトランプをシャッフルして1を1番として(5を5番)並べる時に、全てのカードの番号

1から5までの5枚のトランプをシャッフルして1を1番として(5を5番)並べる時に、全てのカードの番号と並べる順番が異なる確率を求めろという問題の解き方が分かりません。
分かる方教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• ごめんなさい補足です。問題文と少しズレがありました。
  問題文では数字が1.2.3.4.5の5枚のトランプをよく切ってから左から1番、2番、3番･･･と並べる時に、その数字と順番が5枚とも一致しない確率を求めろでした。
  失礼しました。

    補足日時：2021/10/26 18:15

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/10/26 17:52

1 - (全てのカードの番号と並べる順番が一致する確率)

全てのカードの番号と並べる順番が一致する確率は？
1枚目が1:1/5
2枚目が2:残り4枚中1枚だから1/4
3枚目が3:残り3枚中1枚だから1/3
・
・

これを掛ければ求まる。

ここまで言えば後は解るはず。

No.2 回答者： neKo_deux 回答日時： 2021/10/26 18:07

> 1から5までの5枚のトランプをシャッフルして1を1番として(5を5番)並べる時に、

1) シャッフルする
2) ５枚のカードの番号を確認する
3) １を１番目に並べる
4) ５を５番目に並べる
の後なら、２、３、４をどう並べても、

> 全てのカードの番号と並べる順番が異なる

にはならないです。
１と５の番号が、並べる順番と一致しているから。

なので、０パーセントって事になるのでは。


1000回くらいその作業繰り返したら、疲れて並べ間違えるかも。
1000人にその作業やらせれば、指示内容を間違ったり、変な人が入ってて間違えるかも。
そう言う確率は？って事だと、計算では求められないし。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/26 18:42

1,2,..,n の数に 1,2,..,n の番号を振って値と番号が同じにならないようにする。

そんな番号の付け方を「完全順列」といい、
長さ n の完全順列の総数を「モンモール数」と言います。よく知られた数列の話題です。
n に対するモンモール数を a(n) とすると、 a(n) の漸化式は比較的簡単に得られます。

長さ n の完全順列の n 番目の数は 1 から n-1 までのどれかです。
それが k だったとして、その完全順列の k 番目の数が何か？ を考えます。
ｋ 番目の数が n ではない場合、 n 番目の数を除いた n-1 個の数の並びは
長さ n-1 の完全順列と一対一に対応しており、その総数は a(n-1) 通りです。
ｋ 番目の数が n の場合、 k 番目と n 番目の数を除いた n-2 個の数の並びは
長さ n-2 の完全順列と一対一に対応しており、その総数は a(n-2) 通りです。
以上より、 a(n) = (n-1){ a(n-1) + a(n-2) } が得られます。

この漸化式を解いて一般項を求めるのも不可能ではないが、面倒くさい。
今回は a(5) の値さえ求めればよいので、 a(1) = 0, a(2) = 1 から順に漸化して
a(3) = 2{ 1 + 0 } = 2,
a(4) = 3{ 2 + 1 } = 9,
a(5) = 4{ 9 + 2 } = 44.

問題の確率は、 a(5)/5！ = 11/30 となります。