数Bの問題がわかりません。 Q.Σ[k=1,n-1] 2・3^k-4^k-1 と言う問題です。詳しく

数Bの問題がわかりません。
Q.Σ[k=1,n-1] 2・3^k-4^k-1
と言う問題です。詳しく教えていただけるとありがたいです。

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2021/10/27 12:24

パッと見たところ、２つの等比数列の差を取っているようなので各々に等比数列の和の公式を適用してその差を求めれば良いのではないでしょうか。

基本事項が身に付いていれば改めて解説するような問題ではないと思います。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/10/27 12:57

どういう式なのかさっぱり分かりませんが

　Σ[k=1～n-1]{(2･3^k) - 4^(k-1)}

ですか？

だったら、展開して

　2･{Σ[k=1～n-1]3^k} - {Σ[k=1～n-1]4^(k-1)}

とすれば、第1項は「初項 3、公比 3 の等比数列の和（第 n-1 項まで）」、第2項は「初項 1、公比 4 の等比数列の和（第 n-1 項まで）」ですよね？


それとも

　Σ[k=1～n-1]{(2･3^k) - (4^k) - 1}

ですか？
それだったら、展開して

　2･{Σ[k=1～n-1]3^k} - {Σ[k=1～n-1]4^k} - (n - 1)

ですね。


与えられた式を正しく書くこと、それを正しく「展開、変形」して計算しやすい形にすることがポイントかと思います。

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2021/10/27 13:09

Σ[k=1,n-1] 2・3^k-4^k-1

＝Σ[k=1,n-1] 2・3^kーΣ[k=1,n-1] -4^k-1＝S₁ーS₂と置く
S₁＝2Σ[k=1,n-1] 3^k
　＝2(３＋３^2+3^3+・・・＋３^(n-1))・・①
3S₁＝2(３^2+3^3+3^4+・・・＋３^n)・・②
➁－①＝２S₁＝2(－３＋3^n),
S₁＝－３＋３^n(n>1)

S₂＝１＋４＋４^2+・・・＋４^(n-2)・・③
4S₂＝４＋４^2+4^3+・・・＋４^(n-1)・・④
④－③＝３S₂＝－１＋４^(n-1)
S₂＝(－１＋４^(n-1))/3(n>1)

Σ[k=1,n-1] 2・3^k-4^k-1=S₁ーS₂=－３＋３^n-(－１＋４^(n-1))/3

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/27 17:45

ただの等比級数の公式ですねえ。

Σ をバラして、
Σ[k=1,n-1]{ 2・3^k - 4^k - 1 }
= 2 Σ[k=1,n-1]{ 3^k } - Σ[k=1,n-1]{ 4^k } - Σ[k=1,n-1]{ 1 }
= 2(1 - 3^n)/(1 - 3) - (1 - 4^n)/(1 - 4) - (n - 1)
= - 1 + 3^n + (1/3) - (1/3)4^n - n + 1
= 3^n - (1/3)4^n - n + (1/3).