Kを体とする。K[x]の単元と単元でない元の積は単元でない。これは成り立ちますか？ 例 2はR[x]

Kを体とする。K[x]の単元と単元でない元の積は単元でない。これは成り立ちますか？
例
2はR[x]の単元。x+1はR[x]の単元ではない。よって、その積　2(x+1)は単元ではない。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/10/29 19:42

成り立ちます。

K[x] の単位元を 1 と書き、
a は K[x] の単元、 b は K[x] の元で単元ではないとします。
「単元」とは逆元の存在する元のことです。
a(a^-1) = 1 なる a^-1 は存在し、
b(b^-1) = 1 なる b^-1 は存在しないということです。
このとき、 c = ab に対して c^-1 は存在するでしょうか？

もし、存在すると仮定すると、
ab(c^-1) = 1 が成立することになります。
この式に、左から a^-1、 右から c を掛けて b = (a^-1)c です。
両辺の逆数をとると b^-1 = ((a^-1)c)^-1 = (c^-1)a となって、
b^-1 が存在することになってしまいます。
よって背理法により、 c^-1 は存在しません。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2021/10/29 21:39