No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ρ=1/v
であれば
v が、v → v + Δv
にちょこっと増えたときに
ρ が ρ → ρ + Δρ
になったとすれば
Δρ = (ρ + Δρ) - ρ
= 1/(v + Δv) - (1/v)
= [v - (v + Δv)]/[(v + Δv)v]
= -Δv/[(v + Δv)v] ①
このうち、分母は Δv が非常に小さいときには
(v + Δv)v ≒ v^2
になるので、①は
Δρ ≒ -Δv/v^2 ②
です。
「微分」というのは、②を Δv で割って
Δρ/Δv ≒ -1/v^2
として、「ちょこっと増えた」Δv を「→0」にしたときの極限で、そのときには「Δρ → dρ」「Δv → dv」と書いて、「≒」が「=」になって
dρ/dv = -1/v^2
になります。
②をその「dρ」「dv」で書くと、画像でお示しの
dρ = -dv/v^2
という式になります。
No.3
- 回答日時:
微小な体積(v)だから。
一般に微小な(より正確には無限小の)xをdxと表す事になっています。そして「yをxで微分する」と言う事は定義から言って「xの微小な増分(dx)でyの微小な増分(dy)を割る」と言う事ですから、学校で習ったようにdy/dxと表記するわけです。No.1
- 回答日時:
ρ=1/v
dρ/dv=lim[h→0](1/(v+h)-1/v)/h=lim[h→0]{(v-v-h)/(v-h)v}/h
=-1/v²
よって、
dρ=(-1/v²)dv
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