微分について質問です 式の微小密度を微小比体積に直したいのですが、なぜ写真のように微分したものにかけ

微分について質問です
式の微小密度を微小比体積に直したいのですが、なぜ写真のように微分したものにかけるdvと表せるのでしょうか？
まだ微分の意味がよく分かっていません。解説よろしくお願いいたします。(密度の逆数が比体積ですρ=1/v)

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/11/07 15:46

ρ=1/v

であれば
v が、v → v + Δv
にちょこっと増えたときに
ρ が ρ → ρ + Δρ
になったとすれば

Δρ = (ρ + Δρ) - ρ
　　= 1/(v + Δv) - (1/v)
　　= [v - (v + Δv)]/[(v + Δv)v]
　　= -Δv/[(v + Δv)v]　　　　　①

このうち、分母は Δv が非常に小さいときには
　(v + Δv)v ≒ v^2
になるので、①は
　Δρ ≒ -Δv/v^2　　　　②
です。

「微分」というのは、②を Δv で割って
　Δρ/Δv ≒ -1/v^2
として、「ちょこっと増えた」Δv を「→0」にしたときの極限で、そのときには「Δρ → dρ」「Δv → dv」と書いて、「≒」が「=」になって
　dρ/dv = -1/v^2
になります。

②をその「dρ」「dv」で書くと、画像でお示しの
　dρ = -dv/v^2
という式になります。

No.3 回答者： finalbento 回答日時： 2021/11/07 18:21

微小な体積(v)だから。

一般に微小な(より正確には無限小の)xをdxと表す事になっています。そして「yをxで微分する」と言う事は定義から言って「xの微小な増分(dx)でyの微小な増分(dy)を割る」と言う事ですから、学校で習ったようにdy/dxと表記するわけです。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2021/11/07 15:22

ρ＝1/v

dρ/dv=lim[h→０](1/(v+h)-1/v)/h=lim[h→０]{(v-v-h)/(v-h)v}/h
=-1/v²
よって、
dρ＝(-1/v²)dv