幾何学の問題

次の①〜⑤の中からR^2の部分空間となるものを教えて欲しいです。

①{(x,y)∈R^2|x>0 かつ y>0}
(>は下に_のような線が付いています。)

②{(x,y)∈R^2|x=0 または y=0}

③{(x,y)∈R^2|x=0}

④{(x,y)∈R^2|y=3x}

⑤{(x,y)∈R^2|y=3x+1}

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/15 17:05

③

S3={(x,y)∈R^2|x=0}={(0,y)∈R^2}
(0,a)∈S3,(0,b)∈S3とすると
(0,a)+(0,b)=(0,a+b)∈S3
c(0,a)=(0,ca)∈S3
だから
S3はR^2の線形部分空間である

④
S4={(x,y)∈R^2|y=3x}={(x,3x)∈R^2}
(a,3a)∈S4,(b,3b)∈S4とすると
(a,3a)+(b,3b)=(a+b,3(a+b))∈S4
c(a,3a)=(ca,3ca)∈S4
だから
S4はR^2の線形部分空間である

①
S1={(x,y)∈R^2|x≧0かつy≧0}
とすると
(1,1)∈S1,(-1)(1,1)=(-1,-1)はS1の要素ではないから
S1は線形部分空間ではない部分(位相)空間である

②
S2={(x,y)∈R^2|x=0またはy=0}
とすると
(0,1)∈S2,(1,0)∈S2,(0,1)+(1,0)=(1,1)はS2の要素ではないから
S2は線形部分空間ではない部分(位相)空間である

⑤
S5={(x,y)∈R^2|y=3x+1}={(x,3x+1)∈R^2}
とすると
(0,1)∈S5,(1,4)∈S5
3*1+1=4≠5だから
(0,1)+(1,4)=(1,5)はS5の要素ではないから
S5は線形部分空間ではない部分(位相)空間である