偏導関数の応用の問題です。 つぎの陰関数yの極値を求めよ。 x^4+2x^2+y^3-y＝0 解説し

偏導関数の応用の問題です。
つぎの陰関数yの極値を求めよ。
x^4+2x^2+y^3-y＝0

解説していただけると幸いです。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/12/02 20:50

与式を微分して

　4x³+4x+3y²y'-y'=0・・・・・①
→ y'=4x(x²+1)/(1-3y²)
となり、
　y'=0 → x=0
これを与式に入れて
　y=0 or y=±1
となり、停留点は３つある。

①を微分して
　12x²+4+6yy'+(3y²-1)y''=0
→ y''=(12x²+4+6yy')/(1-3y²)

停留点(y'=0)におけるy''を調べる。
・x=0, y=0 のとき
　y''=4>0・・・・・極小

・x=0, y=±1 のとき
　y''=4/(1-3)=-2<0・・・・極大