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N^2 = O となる 2 次正方行列 N を全て求めよ.
この問題の解説を教えてください。
よろしくお願いいたします。

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A 回答 (5件)

N=((a,b),(c,d))


とすれば

a=b=c=d=0
または
a=-d かつ a²=-cb
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N


=
(a,b)
(c,d)
とする

N^2
=
(a,b)(a,b)
(c,d)(c,d)
=
(a^2+bc,(a+d)b)
((a+d)c,d^2+bc)
=
(0,0)
(0,0)

a^2+bc=0
(a+d)b=0
(a+d)c=0
d^2+bc=0

b≠0の時
a+d=0
d=-a
bc=-a^2
c=-a^2/b

(a.....,b)
(-a^2/b,-a)

b=0の時
(0,0)
(c,0)
「線形代数 行列の定義と行列の演算」の回答画像2
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正攻法で


N=
a b
c d

として
N^2=
a²+bc ab+bd
ac+cd bc+d²
=
a²+bc b(a+d)
c(a+d) bc+d²


a²=d²=-bc
b(a+d)=c(a+d)=0

b=0 または c=0→ a=b=0
b≠0かつc≠0 →a=-d=±√(-bc)
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>b=0 または c=0→ a=b=0


訂正
b=0 または c=0→ a=d=0
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やり方はみなさんと一緒だが、揃ってb=0の場合を場合分けなさってるのはなんでだろ?記号をみなさんに合わせると、


N =
  a  b
  c  -a
ただし、b, cはどっちも任意の複素数であり、b, cを決めるとaは、a^2 = -bc の解の任意のひとつ、と決まる。

 さて、(ご質問には指定がないが)もしNの成分を実数に限定するのなら、「bもcも任意の実数で、ただし bc≦0 」という条件が付き、aは √(-bc) か -√(-bc) のどっちでもいい、ということ。
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