線形代数,斎藤正彦,定理の証明について

p140定理[2.2]にある証明が腑に落ちません。とくに、ここではn次元ユニタリ空間 V=W_n となるはずなのに、W_nが1)の条件では T,S-不変 な部分空間という扱いになってしますます。ここにある証明では、「1) W_i (i = 0, 1, ..., n) ....」 ではなく 「1) W_i (i = 0, 1, ..., n-1) ....」を証明したことになりませんか。というか 「W_n = V」、n次元部分空間をそのままVにしているのか納得できません。

No.2 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2022/01/11 13:57

証明の構成としては、貴方が証明できたと思っているであろう

W_i (i = 0, 1, ..., n-1)
にW_n=Vを追加したものが1)-3)の条件を満たしてると言ってるだけですよね。

何に納得できてないのか掴めてないかもしれませんが

>というか 「W_n = V」、n次元部分空間をそのままVにしているのか納得できません。

それで1)-3)の条件を満たすものが出来上がるので。
そもそもn次元の部分空間はV自身以外には存在しないのに、他にどんな選択肢があると思っているのでしょうか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
T(V) ⊂ V は自明でした。「n次元の部分空間はV自身以外には存在しない」、こちらは勉強不足でした。

お礼日時：2022/01/11 20:33

No.3 回答者： cage64 回答日時： 2022/01/11 19:08

その本の(部分ベクトル空間)WがT-不変である、の定義を確認すれば、T:V→Vについては、V(=W_n)がT-不変なのは明らかなのでしょう。

証明を見る限り、T(W)⊂Wが定義のようです（T(W)=Wが定義では確かにおかしいですので、その場合は、この付近で扱うT,Sには、何かもっと条件がついているのでしょう。ですが、その本をもってない人には判断できません）。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
章の初めに同様に(T(W)⊂W)定義されていました。

お礼日時：2022/01/11 20:35

No.1 回答者： yukkurine 回答日時： 2022/01/11 13:35

そうですね。

このページを見る限り「1) W_i (i = 0, 1, ..., n) ....」 ではなく 「1) W_i (i = 0, 1, ..., n-1) ....」を証明したことになっていますね。
n=1は明らかと書いてありますが、その時点で成立してない気がします。
V=<a>（1つのベクトルaで張られる1次元ベクトル空間）とすると、S(a)=0,T(a)=a で線形写像S（零写像）,T（恒等写像）が定められてS,Tは交換可能ですが、S-不変ではありません。
ただ、私はこの本は持っていないので他の識者の方の意見があればそちらも聞いて下さい。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
同書を持っている方に質問させていただいたところ無事解決しました。おっしゃられている例について触れたわけではありませんが、そちらはまた後日考えて補足にでも書こうと思います。

お礼日時：2022/01/11 20:33