数列の和Ｓ＝4・1+8・3+12・3^2+16・3^3+・・・・・+4n・3^n-1を求めよという問

数列の和Ｓ＝4・1+8・3+12・3^2+16・3^3+・・・・・+4n・3^n-1を求めよという問題がございまして、解答の計算式が
Ｓ＝4・1+8・3+12・3^2+・・・+4n・3^n-1
・・・①
①の両辺に3をかけると
3S＝　　　4・3+8・3^2+・・・+4(n－1)・3^n-1+4ｎ・3^n・・・・・②
①－②から
S－3S＝(4+4・3+4・3^2+・・・・・+4ｎ・3^n-1)－4n・3^n
＝[{4(3^n－1)}/3－1]－4n・3^n＝2(3^n－1)－4n・3^n
＝－2(2n－1)・3^n－2
よって、－2S＝－2(2n－1)・3^n－2ゆえに
　　　　　S＝(2n－1)・3^n+1

自分で計算しててわからなくなってしまったのは、2(3^n－1)－4n・3^nから
＝－2(2n－1)・3^n－2となる計算過程で、
2(3^n－1)－4n・3^nの式の－2をくくりだしていることです。どうしてこのような
－2(2n－1)・3^n－2が導けるのかわかりません。普通に両辺を－2で処理して
－2S＝2(3^n－1)－4n・3^nを
　S＝－(3^n－1)2n・3^nとするのはだめなのでしょうか。
問題集の解説に「2・3^n－2－4^n・3^nとしないで、2・3^nでククルコトガ多い。」という解説もよくわかりません。
私の計算力不足が原因で申し訳ないのですがどなたか詳しい途中式を含めて丁寧に説明していただけないでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/01/17 14:17

補足

やっていることは
要は　3^nがつく項とつかない項に分類して
それぞれを同類項まとめの要領で処理しているという事です

つまり　3(x-4)+2x　なら　同類項まとめで-12が仲間外れとなり
3(x-4)+2x=3x+2x-12=(3+2)x-12=5x-12

これと同じ要領で　3^nのつく項と、つかない項で分類して
同類項まとめ的なことをしたのが
(2n－1)・3^n+1

この回答へのお礼

非常に参考になります。

お礼日時：2022/01/17 23:34

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/01/17 14:02

2(3^n－1)－4n・3^n

＝2・3^n－2－4n・3^n
＝2・3^n－4n・3^n-2
とまずは展開していますよ（省略されていますが）
すると、末尾の-2は仲間はずれですが　3^nの係数は同類項的にまとめることができます
2・3^n－4n・3^n　について共通因数3^nをくくりだしたとみても良いです
(-2だけをくくりだしているわけではありません)
今回は　3^n=Mという置き換えを利用すれば
2・3^n－4n・3^n-2
=2M-4nM-2
=2M(1-2n)-2 ←←←右端-2は仲間外れにする
＝－2(2n－1)・3^n－2(＝-２Ｓ)…①
です

あなたの思考過程のように 先に-2でわるようにしても
当然同じ結果にたどり着きます

－2S＝2(3^n－1)－4n・3^n
両辺を-2でわると　右辺は分配法則となり
S=2(3^n－1)÷(-2)－4n・3^n÷(-2)
=－(3^n－1)+2n・3^n
ですね
3^(nという共通因数くくりだしが見えているので
3^ｎ=Mという置き換えでも利用しておくなら
－(3^n－1)+2n・3^n
＝-M+1+2nM
=-M+2nM+1
やはり仲間はずれができていて+1は抜きに共通因数をくくりだしで
=-M(1-2n)+1…②
Ｍをもどせば　正しい答えが出るはずです
（前半の①は-2Sの式、後半の②はSを表す式なんで　
両者には-2倍の差異があることに留意）

この回答へのお礼

詳しい解説非常にありがとうございました。

お礼日時：2022/01/17 23:33