QEDの散乱振幅に関する質問です。

画像は、Peskin and Schroederの"An Introduction to Quantum Field Theory"の145ページに掲載されている式です。
v(p')は、４行列ベクトル、γ^μは、４次正方行列、u(p)は４行列ベクトルなので、最後の式は、1×1行列、すなわち複素数と同一視できるはずだと思うのですが、なぜ最後の式は行ベクトルになるのでしょうか？
それと、μは、0から３まで４つの値があり得るのに、なぜ 最後の値はμによらない式になっているのでしょうか？

No.7 ベストアンサー 回答者： moumougoo 回答日時： 2022/02/08 23:02

「自分としては解決していないので、教えてください。

」そうですか...

定義が明確であれば、あとは単純な計算だと思うのですが
ほぼほぼWikipediaの説明なのですが下記のようになるのではないかと想像します。

私の想像ｖだと、カイラル表現を使っていると思います。
Wikipediaのガンマ行列のカイラル表現を参照（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%B3 …
あとv_varといっているのが、ディラック共役ですね。Wikipediaのディラック共役を参照（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3 …

v_var=v^(†) γ^0=(2E)^(1/2)(0 -1 0 0)
u=(2E)^(1/2)(0 0 1 0)^T

なので、あとは普通の行列の計算かと思いますが、
どのあたりがわからないのでしょうか？

０を2x2の零行列,Iを2x2の単位行列（σ^0でもいいかも） 、
σ^j (j=1,2,3) はパウリ行列として、これらを用いて
γ行列が区分行列（下記参照）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8C%BA%E5%88%86 …
で表されて、
γ^0＝
　[０Ｉ]
　[Ｉ０]
γ^j＝
　[０σ^j]
　[-σ^j０]
で４ｘ４の行列で表されるのは大丈夫でしょうか？
v_var γ^j u
を計算すると、ご質問のメモに書かれている式になると思いますが・・・。

多分、私が想像しながら説明するよりも、ご自分で考えられた方が正確で速いと思います。

この回答へのお礼

やっとわかりました。ありがとうございます。

お礼日時：2022/02/09 10:36

No.6 回答者： moumougoo 回答日時： 2022/02/07 22:50

uとvを取り違えてしまいました。

すみません。
よくわかりませんが、私としては解決したように思います。ありがとうござました。

この回答へのお礼

自分としては解決していないので、教えてください。

お礼日時：2022/02/08 09:41

No.5 回答者： moumougoo 回答日時： 2022/02/07 00:28

よくわかりませんが、定義を確認されるとよいかと思います。

それは質問者様しかわからいことなので他の人に質問してもこたえられないのでは？

ということで以下、想像です。
メモの数式では、カイラル表現を使っていて、vのバー (それをv_barと書くとして）は複素共役転置とカイラル表現のγ^0をかける操作では？
つまり、
v_bar＝v^(†) γ^0 　（†は複素共役転置）
= (2E)^(1/2) (0,0,1,0) γ^0
= (2E)^(1/2) (1,0,0,0)
となるのでは？
そうすると、あとはカイラル表現でγ行列を表してメモに書かれている計算になるのではいでしょうか？

この回答へのお礼

v^(†) γ^0=(2E)^(1/2)(0 -1 0 0)
になります。

お礼日時：2022/02/07 11:05

No.4 回答者： moumougoo 回答日時： 2022/02/05 17:56

たとえば、Wikipedia の4元ベクトル

https://ja.wikipedia.org/wiki/4%E5%85%83%E3%83%9 …
の「位置ベクトル」「4元ベクトルの例」ということろに書かれている記法になっていて、添字一つで４成分ぶんを表すのは普通なのでは？

質問の場合だと
（0,-1) σ^μ (1,0)^T (Tは転置）は

（（0,-1) σ^０ (1,0)^T, （0,-1) σ^1 (1,0)^T, （0,-1) σ^2 (1,0)^T, （0,-1) σ^3(1,0)^T)

だと思いますが、意味がわかりましたでしょうか？

この回答へのお礼

２行目から３行目までについてはわかりました。
ただ、１行目から２行目の計算は
2E( 0 0 (0 -1)σ^μ)(0010)^T
となり、テキストと異なるのですが。

お礼日時：2022/02/06 13:05

No.3 回答者： moumougoo 回答日時： 2022/02/05 12:29

すみません、各μの”値”を横ベクトルに並べているのでは？、ですね。

この回答へのお礼

意味がわかりません。
γ^μ=(0 　σ^μ )
(\bar{σ^μ} 0)
をどうするのでしょうか？

お礼日時：2022/02/05 16:25

No.2 回答者： moumougoo 回答日時： 2022/02/05 12:15

各μの成分を横ベクトルに並べているのでは？

No.1 回答者： utayomi_2011 回答日時： 2022/01/30 09:15

見えないものには回答できません。

この回答へのお礼

何が見えないのですか？

お礼日時：2022/01/30 11:07