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保存力かどうかを判断する条件として、
rotF=∇×F=0 (F,0はベクトル)

という式を習いました。
この式はベクトル積なので、x成分が0でないってわかった時点で、非保存力と判断してよいんですよね?
逆に保存力であるときは、x、y、z、3成分が0になるときのみですよね?

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A 回答 (1件)

>この式はベクトル積なので、x成分が0でないってわかった時点で、非保存力と判断してよいんですよね?


>逆に保存力であるときは、x、y、z、3成分が0になるときのみですよね?
もちろんそれでOKです。

(蛇足)
話は外れますが、一般に任意のベクトル場F(r)は、divergence-freeな場Bと、rotation-freeな場Eの和に分解することができることが知られています:F(r)=E(r)+B(r)(すべての点でrotE=0,divB=0)。
よって、任意のベクトル場Fは、適当なスカラーポテンシャルΦとベクトルポテンシャルAを用いて、F(r)=-gradΦ(r)+rotA(r)と表せるのです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます、助かりました^^

蛇足(とんでもないですが)のほうもありがとうございます
後学のために頭に入れておきます!

お礼日時:2007/07/05 23:20

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Q保存力→ポテンシャル→力 の計算過程について

かなり初歩的なミスをしているような気がするのですが、どうも気になる問題があるのでご教授お願いいたします。

二次元上において、力Fが
 Fx = -ax(x^2+y^2)
 Fy = -ay(x^2+y^2)

で与えられているとき、二次元の保存力の条件から
 ∂Fx/∂y = -2axy
 ∂Fy/∂x = -2axy

となり、保存力で間違いないですよね?(ここで間違ってたら申し訳ないのですが・・・)

また、ポテンシャルについては、
U(0,0)=0 であるとすれば、 U(x,y)については線積分で

 U(x,y) = -∫(0→x) {-ax(x^2 + y^2) dx}
      -∫(0→y) {-ay(x^2 + y^2) dy}

で与えられ、これについてはおそらく計算間違いでない限り

 U(x,y) = 1/4 * (x^4 + y^4) + (x^2)*(y^2)

となると思います。しかしすると、力を求めるときの
 F = -∇U
に以上の式を代入しますと、

 Fx = -ax(x^2 + 2*y^2)
 Fy = -ay(2*x^2 + y^2)

となり、はじめに提示された力とは若干異なる数値がでてきてしまいます。

これについて疑問を抱いたのですが、あまりにも初歩的で手順が間違ってたとは思えず…おそらく何かを勘違いしているのだと思っています。
(恐らく線積分は始点終点の問題があるのでその辺りに原因か)

このようなことは起こり得ますか? それとも計算ミスなのでしょうか…
そもそもこのような検算方法は完全ではないのでしょうか
私の誤解にお気づきになられた方はお教えいただけると幸いです。

宜しくお願いいたします。

かなり初歩的なミスをしているような気がするのですが、どうも気になる問題があるのでご教授お願いいたします。

二次元上において、力Fが
 Fx = -ax(x^2+y^2)
 Fy = -ay(x^2+y^2)

で与えられているとき、二次元の保存力の条件から
 ∂Fx/∂y = -2axy
 ∂Fy/∂x = -2axy

となり、保存力で間違いないですよね?(ここで間違ってたら申し訳ないのですが・・・)

また、ポテンシャルについては、
U(0,0)=0 であるとすれば、 U(x,y)については線積分で

 U(x,y) = -∫(0→x) {-ax(x^2 + y^2) dx}...続きを読む

Aベストアンサー

> U(x,y) = -∫(0→x) {-ax(x^2 + y^2) dx}
>      -∫(0→y) {-ay(x^2 + y^2) dy}
この書き方を見る限り、間違っているのはおそらくこの部分ですね。

積分経路のとり方は色々ありますが、
(0,0)→(x,0)→(x,y)
という積分経路を考えるのであれば、

 U(x,y) = -∫[(0,0)→(x,0)] {-ax(x^2 + y^2) dx}
      -∫[(x,0)→(x,y)] {-ay(x^2 + y^2) dy}
     = -∫[(0,0)→(x,0)] {-ax^3 dx}
      -∫[(x,0)→(x,y)] {-ay(x^2 + y^2) dy}

のような感じになります。


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