風向の平均処理

風向の平均処理について、
単位ベクトル平均とベクトル平均の違いが分かりません。
以下の認識でよいでしょうか。

題 南5m/s、北10m/sの平均

ベクトルの向きを風向とする。
ベクトルの大きさを風速としたとき、

【単位ベクトル】
風向のみに着目し、南180度と北0度の平均により、平均風向は東90度(西にはならない?)

【ベクトル平均】
風速を考慮し、平均風向は北5m/s

見当違いでしたらすみません。

質問者からの補足コメント

• 単位ベクトルについて、
  向きが逆だから、相殺されて風向は静穏？
  このときの平均風向はどうなるのでしょうか。

    補足日時：2024/03/10 12:56

• Excelで計算するときで、
  A（風向が南180度, 風速1m/s）、B（北0度, 風速1m/s）のとき、
  
  RADIAN
  A：RADIANS(180) ≒ 3.14
  B：RADIANS(0) ＝ 0
  
  COS, SIN
  A：(COS(3.14), SIN(3.14)) ≒ (-1, 0)
  B：(COS(0), SIN(0)) ＝ (1, 0)
  
  SUM(A, B)
  COS：SUM(-1,1) = 0
  SIN：SUM(0,0) ≒ 0
  
  ATAN2
  ATAN2(x, y) ≒ ATAN2(0, 0) ≒ 1.57
  
  DEGREE
  DEGREES(1.57) = 90
  
  となり、東の方位が平均となるのですが、計算は合っていますでしょうか。
  逆向きのベクトルなので、相殺されないのでしょうか。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/03/11 09:40

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2024/03/11 10:10

No.1への補足コメントについて。

> Excelで計算するときで、
> A（風向が南180度, 風速1m/s）、B（北0度, 風速1m/s）のとき、

ってのは、データが2つしかない場合にNo.1の[2]の計算をする、ということかしらん。
　
　極めて品質が低いデータ（たとえば、1日単位で「今日は大体西風10m/s、昨日は大体南風5m/s、…」なんてレベルのもの）しかないときには、そもそも[2]の計算をやること自体無意味。[3] のやりかたでΔθを90°にしたもの、すなわち「東西南北それぞれの回数を数えて、どれが多いか比べる」ぐらいが妥当です。

　一方、補足なさったのは飽くまで「例題として」ということだとしますと、それなら計算は合ってます。
　が、ただし「ベクトル(0,0)の偏角」というのは数学的には無意味なのでATAN2(0,0)は正しくは#ERROR になるべきところなんです（が、Excelはアホなので、間違った答を返すんです）。しかし、マトモな品質（Δθが10°以下、時間間隔が1時間以下とか）でマトモな個数（少なくとも数十）のデータで計算した結果がピッタリ(0,0)なんてことは、まずもって滅多に生じないから、このExcelの間違いは普通は気にしなくて良い、という事情です。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
ご指摘のとおり、あくまで例題として質問をいたしました。
実際のデータとしては10分間隔×24時間×2週間程度あります。

数学について浅学ではありますが、
＞「ベクトル(0,0)の偏角」というのは数学的には無意味なのでATAN2(0,0)は正しくは#ERROR になるべき
というのは感覚的にも理解てきました。

また、確かに、データ数がそれなりにあるならば、(0,0)になることめったにないはずなので、ご回答いただきました、No.1の[2]の集計で整理しようと思います。

早々にご回答いただきましてありがとうございました。

お礼日時：2024/03/11 10:53

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2024/03/10 14:35

No.1訂正

　　　1/2≧ (θ(k) - mΔθ)＞1/2
　　　1/2≧ (θ(k) - M)かつθ(k)＞1/2
じゃなくて、
　　　1/2≧ (θ(k)/Δθ - m)＞1/2
　　　1/2≧ (θ(k)/Δθ - M)かつθ(k)/Δθ＞1/2

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2024/03/10 14:29

一定の時間間隔Δtで時刻kΔtの風の速度ベクトル、すなわち風向θ(k)と風速v(k)（ただしv(k)は風の速さであり、非負のスカラー値、単位はm/sとか）のペアを、k=1〜Nについて記録したとする。

なお、無風(v(k)=0)の場合には、θ(k)は値が定まらないことに注意。
　で、このデータを使って何かの問いに答えようとしている。とは言っても、「この土地では、だいたいどのぐらいの風が吹くのか」と漠然と問われても、何が知りたいんだかはっきりしないから、答えようがない。

[1]「この土地ではどのぐらい風が強いのか」という問いなら、風向は関係なく平均の風の速さが問われているのだから、
　　V = (1/N)Σv(k)
(だたし"Σ"はk=1～Nの総和）
を計算すれば良く、これを「平均風速」と呼んで差し支えないだろう。が、これはご質問とは関係がない。

[2]「この土地の表土は、風でどっち方向に流されていくのか」という問いなら、実用上意味がある問いだ。これに答えるには、まずは風速ベクトル (v(t) cosθ(t), v(t) sinθ(t))の平均、すなわち
　　X = (1/N)Σv(k)cosθ(k)
　　Y = (1/N)Σv(k)sinθ(k)
(だたし"Σ"はk=1～Nの総和）
を計算し、風の平均速度のベクトル (X,Y) を作る。このベクトル(X,Y)の偏角が平均の「流される方向」ということになる。なお、平均速度(X,Y)の絶対値（大きさ）は[1]で計算した平均の風の速さとは異なっていて、実際、逆向きに風が吹くことがあれば互いに打ち消される。
　ご質問の「ベクトル平均」とはおそらくこの(X,Y)のことだろう。ただし、

> 南180度と北0度の平均により、平均風向は東90度(西にはならない?)

は全くの間違い。角度の数値の平均値なんか計算してはいけない。まずはベクトルの平均を成分ごとに出して、その結果得られる平均ベクトルの偏角を計算する必要がある。偏角の計算は、例えばExcelだったら
　　=ATAN2(X, Y)
とやる。計算結果は-π〜πの数値で返ってくるから、これを-180〜180度で表したければ、
　　=ATAN2(X, Y)*180/PI()
とすればOK。

[3] 「どっちから風が吹くことがどのぐらいあるか」ということを問う場合、この問いは風の強さを全く無視していて、強風も微風も同等に数えるといういささかヘンテコな問いではある。（例えば建築を考える場合には、「ある風速以上の風だけをカウントすると、どっちから風が吹くことがどのぐらいあるか」と問うなら意味がある。）ま、それはさておき、θ方向から風が吹く頻度fの表を作れば良い。すなわち方向を一定間隔ΔθでM通りに区分けして考えて
　　f(m) = (k=1〜Nのうち、1/2≧ (θ(k) - mΔθ)＞1/2 であるようなkの個数）
とやる。（ExcelならFREQUENCYという関数を使う。）ただし、θ=360°とθ=0°は同じことだから、
　　f(M) = (k=1～Nのうち、1/2≧ (θ(k) - M)かつθ(k)＞1/2 であるようなkの個数）
となることに注意する必要がある。これもご質問の問いとは直接は関係ない。

[4] その上で「結局、風が吹く方向はだいたいどっちなのか」と尋ねるのなら、これは風の強さは一切無視している上に、例えば「いろんな方向からだいたい満遍なく吹く内で西風が少し多い」場合と「常に西風しか吹かない」場合との区別には興味がないという、もう、それを知ってどうする積もりなのか想像もつかないようなウルトラ級にヘンテコな問いではあるが、それはさておき、fを利用して
　　x = Σf(m) cos(mΔθ)
　　y = Σf(m) sin(mΔθ)
(だたし"Σ"はm=1～Mの総和）
を計算すると、ベクトル(x, y)が得られる。もちろんその大きさに興味はなく、(x,y)の偏角を計算すればよい。

　さて、この「風が吹く方向はだいたいどっちなのか」という（ウルトラ級にヘンテコな）問いには、度数表fを介さなくても、
　　x' = Σcos(θ(k))
　　y' = Σsin(θ(k))
(だたし"Σ"はk=1～Nの総和）
によってベクトル(x', y')が得て、(x', y')の偏角を計算すれば、答が出る。
　ご質問の「単位ベクトル平均」とはおそらくこのことだろう。

この回答へのお礼

算出方法まで詳細に記載いただきありがとうございます。
ある場所での1週間の風向（1時間ごとのデータ）を1日平均して7日間で比較をしてみたいな～って思っていたのですが、結構風速に差があったため、平均化処理について質問した次第です。

気象庁は、風速を考慮しない、[4]の「単位ベクトル平均」
> x' = Σcos(θ(k))
> y' = Σsin(θ(k))
で風向の平均化処理をしているようです。
単位ベクトル平均は、従来の観測、統計方法に近い値（最多風向に近い値）になるらしいです。

実際にやりたかったのは風速を考慮した、[2]のベクトル平均で、風速をベクトルの大きさとみなして、すべてのベクトルの向き（風向）を合成して算出する方法で正しいのか不安だったため、質問いたしました。算出方法も同じであったので、安心いたしました。

お礼日時：2024/03/10 20:27