a(n-1)=(1/n!)lim_{z→1}(d/dz)^n{f(z)(z-1)}と f(z)=1/

a(n-1)=(1/n!)lim_{z→1}(d/dz)^n{f(z)(z-1)}と
f(z)=1/{(z+1)(z-1)}
に関して、
mはn-1との事ですが、m=nではないのになぜ
「a(m)=(1/(m+1)!)lim_{z→1}(d/dz)^(m+1){1/(z+1)}
(mは-1以上の整数)
mをnに置き換えると
a(n)=(1/(n+1)!)lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
(nは-1以上の整数)」
と出来たのでしょうか？
また、新しく書かれたg(z)を微分する過程の計算で以下の様に

「g(z)=1/(z+1)とする
↓微分する(1回目)
g'(z)=-1/(z+1)^2
↓微分する(2回目)
g"(z)=2/(z+1)^3
↓微分する
g"'(z)=-3!/(z+1)^4
↓微分する
g""(z)=4!/(z+1)^5
↓微分する
g""'(z)=-5!/(z+1)^6
↓微分する

g"""(z)=6!/(z+1)^7
…
(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

k=n+1とすると

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=lim_{z→1}(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/2^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{-1/(-2)^(n+2)}

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=-1/(-2)^(n+2)...③」
k=n+1が書かれてありますが、これは間違いであり、正しくはk=1という事でしょうか？

質問者からの補足コメント

• 補足ですいません。
  「(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
  
  (d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
  」
  に関しても、たまたま正しい答えが導けただけで間違いだったという事で良いでしょうか？
  
  正しくは(d/dz)^(n){g(z)}=n!{(-1)^n}/(z+1)^(n+1)という事で。

    補足日時：2022/02/03 19:19

• また、n≧-1の時の不等式|z-1|<rとありますが、
  
  どこから|z-1|<rは出てきたのでしょうか？
  
  最後に
  
  n≦-2の時のzとrの不等式はどう作れば良いでしょうか？

    補足日時：2022/02/09 19:42

• ii)
  a=1
  r>2
  C={z||z-a|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
  として、
  n≦-2の時にz=1が考慮されないのかがわかりません。
  というのも、z=1と仮定します。
  
  n≦-2を変形して、
  -n-2≧0とする。
  
  -n-1-1≧0
  -n-z-z≧0
  -n-z-z≧0
  -n-2z≧0
  -n≧2z
  n≦-2zとなり、z=1と置いたので、
  n≦-2と導け、
  
  また、zが1の時rは|z-1|<rと仮定して
  |z-1|<rのzに1を代入すると0<rとなり、
  ii)のr>2が成り立ちます。
  なので、|z-1|<rと置けてzは1ともなるためです。
  
  どうか、なぜz=1が含まれないか教えて頂けないでしょうか？

    補足日時：2022/02/10 09:02

• ありがとうございます。最後に以下の「」に関して質問があります。
  
  「i)
  a=1
  0<r<2
  C={z||z-a|=r}
  f(z)=1/(z^2-1)
  a(n)={1/(2πi)}∳_{C}{f(z)/(z-a)^(n+1)}dz
  とすると
  
  n≦-2の時
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|<2で正則だから
  a(n)=0
  
  n≧-1の時
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}はz=1でn+2位の極を持つから
  a(n)
  =Res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
  ={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
  =-1/(-2)^(n+2)」
  とありますが、上のi)とii)に関して、zとrの不等式は|z-1|<rでしょうか？

    補足日時：2022/02/10 20:19

• また、i)の時はa(n)=0ですが、0になるまでの過程の計算などはないのでしょうか？
  
  「n≦-2の時
  1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}は|z-1|<2で正則だから
  a(n)=0」
  と過去に書いて頂いたのですが、正則だからa(n)=0というのがわかりませんでした。
  
  出来れば先程書いていただいた以下のように説明して頂けるとありがたいです。
  「z→1 の時
  -n-2≧0だから
  (z-1)^(-n-2)/(z+1)　の分母は0にならないから
  (z-1)^(-n-2)/(z+1)　は収束し
  (z-1)^(-n-2)/(z+1)　は z=1で正則だから
  z=1は(z-1)^(-n-2)/(z+1)の特異点ではない
  z=1は極ではない」
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/02/10 20:20

• ちなみに、なぜi)に関しては
  rの範囲が0<r<2だとわかり、
  また、なぜ0<r<2の時にrとzの関係が
  |z-1|=rだとわかったのでしょうか？
  
  出来れば|z-1|<rではない理由も教えて頂ければと思います。
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/02/11 01:03

• ありがとうございます。
  
  ちなみに、0<r<2に関して、
  rは半径であり正の値なのでrが0より大きいはわかるのですが、
  なぜ2までの範囲としたのでしょうか？

    補足日時：2022/02/11 07:29

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/03 21:28

g(z)=1/(z+1)　とする

↓微分すると(1回目)
g'(z)=-1/(z+1)^2
↓微分すると(2回目)
g"(z)=2/(z+1)^3
↓微分すると(3回目)
g"'(z)=-3!/(z+1)^4
g""(z)=4!/(z+1)^5
↓微分すると(5回目)
g""'(z)=-5!/(z+1)^6
↓微分すると(6回目)
g"""(z)=6!/(z+1)^7
…
となるから

n+1回目の微分は

(d/dz)^(n+1){g(z)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

↓g(z)=1/(z+1)だから

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=lim_{z→1}(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/2^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{-1/(-2)^(n+2)}

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}={-1/(-2)^(n+2)}

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの、
(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
の部分が見当たらないのですが、
k=1として

(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
から

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=-1/(-2)^(n+2)は導けないのでしょうか？

お礼日時：2022/02/03 22:03

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/03 19:41

「(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
」
で
変数kを使ったのが間違いではなく


「(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
」
で
使った変数kを
勝手に
k位の極
の
k
あるいは
a(n-k)
の
k
だと断定し混同したことが間違いなのです
その間違いを取消しない限り
間違いなのです

この回答へのお礼

「(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
」
で
a(n-k)
の
kと思っていました。

わかりました。
最後に
「(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
」から「{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}={-1/(-2)^(n+2)}」を導くまでをk=1として教えて頂けないでしょうか。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/02/03 21:10

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/03 19:27

f(z)=1/{(z-1)(z+1)}

は
z=1でk=1位の極をもつのです
k=1で固定なのです

それに対して

「
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)=(1/(n+1)!)lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
nは-1以上の整数
」
だから

n+1の方は
0以上の全ての整数に変化するのです

kとn+1は全く関係ないのです

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/03 11:02

n+1は微分回数であって極の位数とは関係無いのです

k=n+1とすると
k位の極とされてしまうから
k=n+1は誤りなのです

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
わかりました。

k=n+1は誤りであり、たまたま正しいものが導けただけだったのですね。

>> k=n+1とすると
k位の極とされてしまうから
に関しては、なぜk位の極となってはダメなのでしょうか？
どうかダメな理由を教えて頂けないでしょうか。
どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/02/03 18:31

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/03 03:54

k=n+1は誤りでした訂正します

g(z)=1/(z+1)　とする
↓微分すると(1回目)
g'(z)=-1/(z+1)^2
↓微分すると(2回目)
g"(z)=2/(z+1)^3
↓微分すると(3回目)
g"'(z)=-3!/(z+1)^4
g""(z)=4!/(z+1)^5
↓微分すると(5回目)
g""'(z)=-5!/(z+1)^6
↓微分すると(6回目)
g"""(z)=6!/(z+1)^7
…
となるから

n+1回目の微分は

g^(n+1)(z)=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

となるといっているのです
なぜわからないのですか?

この回答へのお礼

やっと理解出来ました。
ありがとうございます。

>>k=n+1は誤りでした訂正します
との事ですが、k=n+1とした場合からも最後に{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=-1/(-2)^(n+2)となり正しく導けましたが、なぜk=n+1は誤りなのでしょうか？

お礼日時：2022/02/03 05:53

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/02/02 22:03

f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n-1)(z-1)^n

a(n-1)=(1/n!)lim_{z→1}(d/dz)^n{f(z)(z-1)}
(nは0以上の整数)

m=n-1とすると
m+1=nだから

m=nでないけれども
f(z)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-c)^m
のmと同時に置き換えれば置き換えできるのです

f(z)=Σ_{m=-1～∞}a(m)(z-c)^m
a(m)=(1/(m+1)!)lim_{z→1}(d/dz)^(m+1){1/(z+1)}
(mは-1以上の整数)

mをnに置き換えると

f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-c)^n
a(n)=(1/(n+1)!)lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}
(nは-1以上の整数)

k=n+1は誤解されるので以下のように変更します

g(z)=1/(z+1)　とする
↓微分すると(1回目)
g'(z)=-1/(z+1)^2
↓微分すると(2回目)
g"(z)=2/(z+1)^3
↓微分すると(3回目)
g"'(z)=-3!/(z+1)^4
↓微分すると(4回目)
g""(z)=4!/(z+1)^5
↓微分すると(5回目)
g""'(z)=-5!/(z+1)^6
↓微分すると(6回目)
g"""(z)=6!/(z+1)^7
…
(d/dz)^(n){g(z)}=n!{(-1)^n}/(z+1)^(n+1)
↓微分すると(n+1回目)
(d/dz)^(n+1){g(z)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

↓g(z)=1/(z+1)だから

(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=lim_{z→1}(n+1)!{(-1)^(n+1)}/(z+1)^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{(-1)^(n+1)}/2^(n+2)

lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!{-1/(-2)^(n+2)}

{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}={-1/(-2)^(n+2)}

この回答へのお礼

ありがとうございます。

なるほど、
「(d/dz)^(k){g(z)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)

(d/dz)^(k){1/(z+1)}=k!{(-1)^k}/(z+1)^(k+1)
」
を
「(d/dz)^(n){g(z)}=n!{(-1)^n}/(z+1)^(n+1)
」
としてkだった部分をnにして変更したのですね。
ですが、なぜkだった部分をnと出来たのでしょうか？
変更して頂けてありがたいのですが、申し訳ないのですが出来れば
k=1やk=n+1を用いてのやり方も書いて頂けないでしょうか？

お礼日時：2022/02/02 22:25