-1/(cosθ+isinθ)=cos(-θ)+isin(-θ)となるのは定義なのですか？それともこ

-1/(cosθ+isinθ)=cos(-θ)+isin(-θ)となるのは定義なのですか？それともこの計算式のみに成り立つのですか？

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2022/03/12 14:07

0でない複素数 zについて、その逆数1/zはどうなるか、という話でしょう。

[1] zは0でないからzの共役複素数z*も0でない。1/zの分子分母にz*を掛け算してみれば
　　1/z = z*/(zz*)
である。さて、zを実数a, bを使って
　　z = a + i b
と書くとすると、
　　z* = a - i b
　　zz* = (a + i b)(a - i b) = a^2 + b^2 = |z|^2
なので、
　　1/z = z*/(|z|^2) = (a - i b)/(a^2 + b^2)

[2] 一方、zを極形式で、実数rとθを使って
　　z = r e^(iθ) = r (cosθ + i sinθ)
と表すと、
　　1/z = 1/(r e^(iθ))
　　= e^(-iθ)/r
　　= (cos(-θ) + i sin(-θ)) / r
　　= (cosθ - i sinθ) / r
である。

[3] ところで共役複素数z*は極形式ではどうなるかというと、
　　1/z = z*/(|z|^2)
　　|z|^2 = r^2
なのだから、
　　z* = (r^2)/z =(r^2)(e^(-iθ)/r) = r e^(i(-θ))
ということ。

[4] で、ご質問は、[1]の見方をするなら
　　a = cosθ, b = sinθ
の場合の話、[2]の見方をするなら
　　r = 1
の場合の話。いずれにしても
　　|z|^2 = r^2 = a^2 + b^2 = 1
であり、
　　1/z = cosθ - i sinθ

　おそらく、[1][2]の両方の見方を自由に行き来できるようになれば、ご質問は自然に解消するんじゃないだろうか。

No.5 回答者： Ichiesgrandchildren 回答日時： 2022/03/11 15:45

この計算式にのみ成り立ちます。

-1/(cosθ+isinθ)=-1(cosθ-isinθ)/(cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ)
=-(cos(-θ)+isin(-θ))/(cos^2θ+sin^2θ)=-cos(-θ)-isin(-θ)

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/11 10:45

補足

複素数を極形式でかくと
c₁=r₁∠θ₁、c₂=r₂∠θ₂
r₁、r₂は非負の実数で複素数の絶対値(大きさ)
θ₁、θ₂は複素数の偏角

とすると
c₁=r₁(cosθ₁+isinθ₁)
c₂=r₂(cosθ₂+isinθ₂)

c₁c₂=r₁r₂{cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂)}=r₁r₂∠(θ₁+θ₂)
c₁/c₂=(r₁/r₂){cos(θ₁-θ₂)+isin(θ₁-θ₂)}=(r₁/r₂)∠(θ₁-θ₂)

となるのは複素数の計算の基礎のキで
c₁/c₂の式で
r₁=r₂=1、θ₁=0、θ₂=θ
とすれば質問の式が直ちに求まります。

とても美しい式で、複素数の計算ではこれでもかと言うくらい
頻繁に使うので
いっぺん導出して頭に入れて置くことをお勧めします。。

三角関数の
・角度の加法定理
・cos²θ+sin²θ=1
とか使うと、割と簡単に導出出来ます。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/03/11 08:26

先頭のマイナス要らないです。

1/(cosθ+isinθ)
=(cosθ-isinθ)/{(cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ)}
=(cosθ-isinθ)/(cos²θ+sin²θ)
=(cosθ-isinθ)
=cos(-θ)+isin(-θ)

定義ではなく恒等式

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/03/11 07:58

その式を sin, cos の定義の一部にしている流儀は、まず無いでしょう。

通常、その式は、
(cosθ)^2 + (sinθ)^2 = 1,　cos(-θ) = cosθ,　sin(-θ) = sinθ
などの定理を用いて計算される、定理です。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/03/11 07:55

1/(cosθ+isinθ)=cos(-θ)+isin(-θ)

の誤り。

これは恒等式。

左辺の分子分母に(cosθ-isinθ)を掛ければ
(cosθ-isinθ)/1=cos(-θ)+isin(-θ)