積分で、∫の上端と下端を入れ替えても値が同じになるのは何故ですか？

積分で、∫の上端と下端を入れ替えても値が同じになるのは何故ですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/04/06 15:41

では、計算の流れを見てみますと

f(x)を積分するとF(x)になるとします（積分定数省略）
つまり、∫f(x)dx=F(x)
定積分の区間がa→b(上端b)だとすれば
この定積分の計算過程は
まず　f(x)の積分をしてF(x)を導き
次に上端bを代入したものから下端aを代入したものを引く順で行われるので
∫[a→b]f(x)dx=F(b)-F(a)となりますよね

もし、積分区間（上端下端）を入れ替えるると
F(x）を導くところまでは一緒
その後a,bの順で代入して引くので
∫[b→a]f(x)dx=F(a)-F(b)=-{F(b))-F(a)}・・・1
と、符号だけが逆転するけど絶対値は一緒になるのです

積分区間を入れ替えるとき
符号も含めて一致させたければ①の両辺にマイナス倍して
[a→b]f(x)dx=F(b)-F(a)=-∫[b→a]f(x)dx
というわけです

ピンとこなければ
f(x)=3x²
(F(x)=x³)
などと,具体的な関数にしてみて
a=1,b=2にして実際に計算してみると良いでしょう
すると
上端下端の入れ替え前後では
F(x)=x³と積分計算するところまでは一緒
その後　a=1を代入したものを引くのか
b=1をx^3に代入したものを引くのか
という違いが出ることに気が付き
符号は反転するが絶対値は一緒だという仕組みに気が付くはずです

この回答へのお礼

わかりやすい解説ありがとうございますm(_ _)m納得しました！

お礼日時：2022/04/06 16:30

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2022/04/06 16:10

手っ取り早く云うと、

上が -(3-4)=+1 , 下が +(4-3)=+1 と云う事。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/04/06 11:56

同じじゃないです

一行目の∫記号の前にあったマイナスが
2行目では逆転してプラスに変わってます
絶対値が変わらない理由を知りたいなら催促コメントください

この回答へのお礼

ありがとうございます。理由知りたいです…！

お礼日時：2022/04/06 15:13