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これは分母が0になるから分子も0になるって言いたいんですか?

「これは分母が0になるから分子も0になるっ」の質問画像

A 回答 (9件)

これ、勘違いしている人が多いけど、「分母が0になるから」という考え方(解釈)は全く違う。



「分母が0に近づく(0になるのではない!)から、もし、その式の極限値が存在するとすれば、分子も0に近づかなければならない(0に近づくことが必要)。」ということ。

で、分子が0に近づくためには、つまり、lim[x→2](a√(x+7)+b)=0であるためには、x→2のときにa√(x+7)+bが近づく値であるa√9+b=3a+bが0に一致しなければならない。
だから、b=-3aでなければならない。

ここまでは、あくまでも必要条件を求めているに過ぎないので、実際にb=-3aのときに極限値が存在することを(つまり十分条件を)示さなければならず、その極限値が題意のように1になるようにすればいい。
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この回答へのお礼

分かりました!
わかりやすい説明ありがとうございます!

お礼日時:2020/07/20 19:52

①なのだから


Lim[x→2]{a√(x+7)+b}/(x-2)=1
そして、Lim[x→2](x-2)=0…② であることも簡単にわかります
そこで、この2つを掛け算して
[{a√(x+7)+b}/(x-2)]・(x-2) について考えると
①により x→2では
Lim[x→2][{a√(x+7)+b}/(x-2)]・(x-2)→1・(x-2)になります
さらに②により
1・(x-2)→1・0になります
ゆえに
Lim[x→2][{a√(x+7)+b}/(x-2)]・(x-2)=1・0=0なのです
ということは、[{a√(x+7)+b}/(x-2)]・(x-2)を約分して得られたa√(x+7)+b}についても
Lim[x→2]{a√(x+7)+b}=0なのです
つまり
Lim[x→2][{a√(x+7)+b}/(x-2)]・(x-2)=Lim[x→2]{a√(x+7)+b}=0 ということです
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No.6です。

もちろんx=2をちょっとずらしたところの図です。それから,分子だけ,分母だけの図も一緒に描いて,どういうときにこういう極限が存在するのかを図で理解するのは勉強になります。
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公式として覚えるんじゃなくて,例えば [√(x+7)-3]/(x-2) と, [√(x+7)-1]/(x-2) のグラフを x=2 の前後付近で,エクセルなどを用いて描いてみて,じぃーっとその図を見て考えることから始める方が将来の応用が利くし,なぜ分子をゼロにしたのかもわかるから,いいですよ。

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分母が0に近付く場合、全体が有限の値に近付くためには分子も0に近付く必要があります。

もしも分子が0でない値や無限大に近付いたとしたら、全体は無限大に近付く事になってしまいます。
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>これは分母が0になるから分子も0になるって言いたいんですか?


そりゃそうでしょ
この場合は極限ですが、
A/B = 1 が成り立つなら A=B ということでしょ
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lim[x→2] {a√(x+7)+b}


=lim[x→2] [{a√(x+7)+b}/(x-2)]・(x-2)
=1・0
=0
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0になるのではなく0に近づくのです



lim_{x→2}[{a√(x+7)}+b]/(x-2)=1…①が成り立つとする
極限の定義から

任意のε>0に対して
あるδ1>0が存在して
0<|x-2|<δ1となる任意のxに対して
|[{a√(x+7)}+b]/(x-2)-1|<ε
となるから

δ=min[δ1,ε/(1+ε)]
とすると
0<|x-2|<δとなる任意のxに対して
|[{a√(x+7)}+b]/(x-2)-1|<ε
となる

↓両辺に|x-2|>0をかけると

|[{a√(x+7)}+b]-(x-2)|<ε|x-2|

|{a√(x+7)}+b|-|x-2|≦|[{a√(x+7)}+b]-(x-2)|
だから

|{a√(x+7)}+b|-|x-2|<ε|x-2|
↓両辺に|x-2|を加えると

|{a√(x+7)}+b|<(1+ε)|x-2|<(1+ε)δ≦(1+ε)ε/(1+ε)=ε


任意のε>0に対して
δが存在して
0<|x-2|<δとなる任意のxに対して
|{a√(x+7)}+b|<ε

が成り立つから(極限の定義から)

lim_{x→2}{a√(x+7)}+b=0
が成り立つ
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分母が0なら分子は無いものになりますよ

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