微分方程式で、分母=0の場合は何故議論しない?0の時はどうなるの?
(質問1)
どのような(と言ってもそんなに多くの本を見たわけではないですが)微分方程式の本を読んでいても、
式の変形途中で分母=0となる可能性が無視されているのですが、
分母が0となる時を全く考慮しないのはなぜでしょうか?
(例1)
dy/dx = 2xy
dy/y = 2x dx ←ここ
y = Aexp(x^2)
(例2)
dy/dx = y/x ←x≠0のはず
dy/y = 1/x dx ←ここ
y = Ax ←x≠0はどうなる?
(質問2)
また、分母が0となる場合を考慮しようと思ったら、
どう考えればいいのでしょうか。
(以下、具体的に僕が混乱しているところ。議論は間違っていると思います。)
例えば上の例1の場合、
dy/dx=2xy の時点で y=0(定数関数) とすると、
y'=0=2x*0 から xは任意 です。
しかし一般解において A≠0,exp(x^2)≠0 よりこれは解に含まれません。
・・・?
例2については、 dy/dx = y/x の時点で y=0(定数関数) とすると
y'=0=0/x となって x≠0 で xは任意 です。
しかし一般解から y=0 とすると、やはり A≠0 なので x=0 です。
・・・?
助けて下さい。
どなたか回答をお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
dy/dx=2xy
の一般解は、y=Aexp(x^2) (Aは定数)
ここで、A=0 のときを考えれば、y=0 となります。
y≠0 の場合の解は、y=Aexp(x^2) (A≠0)
で、
y=0(定数関数)は解ですが、A=0とすれば含められます。
例2も同様です。
dy/dx = y/x
の一般解は、y=Ax (Aは定数)
y≠0のときの解は、A≠0の条件に対応しており、
y=0 のときは、A=0 となりますから、定数Aの条件を
はずせば含められます。
わかりやすい回答ありがとうございます。
言われてみれば・・・見事に混乱していました。
ところで、そのような話は一般的にも成り立つのでしょうか?
つまり、分母=0の可能性を無視して計算を進めて出てきた一般解について、
積分定数の制約条件を変えれば分母=0の場合を含むことが出来るのでしょうか?
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