微分方程式で分母が0になることの議論

例えば、x+y+1 +(2x+ 2y -1)y' = 0を解くとき、同次形に直すために式変形の途中で両辺を(2x + 2y -1)で割りますが、このとき(2x + 2y -1) =0の場合は考慮しなくても良い理由は何でしょうか？
求めた一般解はe^{x+2y}(x+y-2)^3=Cとなりましたので、この解では表されない特異解とのにんしきで合っているのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/05/05 01:35

＞このとき(2x + 2y -1) =0の場合は考慮しなくても良い理由は何でしょうか？

当たり前ですが、(2x + 2y -1) =0 の場合はどうかについて考慮する必要はあります。
大学の講義では、高校までのバカ丁寧な「授業」と違って、本筋でないところはすっ飛ばしますが、講義でやらなかったってことは、それは、「ゼロの場合はどうか、それくらい自分で考えなさい」ということであって、「ゼロのときを考慮する必要がない」という意味では全くないです。

大学の講義は、高校までのように受け身で授業を受けてはダメです。自分で疑問点を見つけ出して、それを自分で考えて解決するようにしましょう。

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2016/05/04 14:09

2x+2y-1=0 の場合、与えられた式は x+y+1=0 となる。

しかしながら、2x+2y-1=0 かつ x+y+1=0 を満たすようなx,yは存在しない。
なぜならばこの二つの式はxy平面上の直線を表すがこの二つの直線は平行であり交点を持たない。
つまり 2x+2y-1=0 という条件は題意を満たしておらず不適である。