No.4
- 回答日時:
f(a)=lim_{x→a}f(x)
だから極限の定義から
任意のε>0に対して,あるδ>0が存在して,
|x-a|<δとなる任意のxに対して|f(x)-f(a)|<ε…(1)
lim_{x→a}f(x)=0
だから極限の定義から
任意のε>0に対して,あるδ>0が存在して,
|x-a|<δとなる任意のxに対して|f(x)|<ε…(2)
f(a)≠0と仮定する
ε=|f(a)|/2
とすると
ε=|f(a)|/2>0だから
(1)から
あるδ1>0が存在して,
|x-a|<δ1となる任意のxに対して
|f(x)-f(a)|<ε=|f(a)|/2
|f(a)|-|f(x)|≦|f(x)-f(a)|<ε=|f(a)|/2
|f(a)|-|f(x)|<|f(a)|/2
|f(a)|/2<|f(x)|…(3)
(2)から
あるδ2>0が存在して,
|x-a|<δ2となる任意のxに対して
|f(x)|<ε=|f(a)|/2
|f(x)|<|f(a)|/2…(4)
δ=min(δ1,δ2)とすると
|x-a|<δとなる任意のxに対して
|x-a|<δ≦δ1だから(3)から
|f(a)|/2<|f(x)|…(5)
|x-a|<δ≦δ2だから(4)から
|f(x)|<|f(a)|/2
となって(5)に矛盾するから
∴
f(a)=0
No.3
- 回答日時:
No.1へのコメントについて。
考察なさるのは結構だが、ちっとは回答を読んで貰いたいもんです。しょうがないから繰り返すと:
Xが何であるかはまるで関係ありません。さらに、「f(a)=X」 とか 「X=0」 とかが真であるかどうかも全く関係ありません。
a = b かつ b = c ⇒ a = c
これは"="に関する公理です(「"="の推移則」と呼ばれる)。すなわち"="ってものの意味を定める一連の規則のうちのひとつに過ぎません。だから、a, b, cの所に何を書こうが一切関係ないんですよ。
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