掛け算の概念

掛け算とは何を求めるものですか？
小学校ではひとつ分×いくつ分=全部の数と指導しているそうですが、全部の数だと長さを求める問題では、全部で〇cmということになり、違和感を感じるのですが、皆さんは
〇×△=□の□の数はどのような数だと認識していますか？

分かりずらくて申し訳ないです、、

No.8 回答者： 静物 回答日時： 2022/04/26 01:31

No.7です。

最後の一文に重大なミスタイプをしてしまいました…数の話で数の打ち込みを間違えてはダメですね。最後の文は正しくは、

＞3×5=15、で説明したら、その式における「15」とは、3が5回繰り返されている状態のことです。

です。大変失礼いたしました。

No.7 回答者： 静物 回答日時： 2022/04/26 01:24

あなたは(もしくは、あなたの身近な小学生のお子さんは)、掛け算の本質にある「交換法則」と「水道方式による掛け算の説明」がバッティングすることに(経験や直感で)ハッキリ気づいているので、かえって掛け算の理解が難しくなっているのだと思います。

＞小学校ではひとつ分×いくつ分=全部の数と指導しているそうですが、

小学校で教える「掛け算」の説明にも、幾つかの言い方があるようですが、日本では「水道方式https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B0%B4%E9%81%93 …」と言われる説明方法が、現在も主流なのかもしれません。

「水道方式」というネーミングセンスも正直クセ強すぎて適切な日本語のセレクトではないと思うのですが、水道方式の最悪な特徴は、

「掛け算という概念を説明するにあたり、個数や単位ありきで説明すること」

です。その説明だと「掛け算という概念・かけるという意味」そのものの説明にはなっていません。掛け算の本質を十全に説明できない、極めて偏りの多い説明なのです。

たとえば、あなたが気にしている「長さ」は「個数」ではなく、数学的な用語では「連続量」という概念になります。ずーっと切れ目なく連続しているようなものは、水道方式の説明のポイントである「ひとつ分」という個数をカウントする考え方には、あまり合っていません。

その説明方法でも説明できなくはないのですが、「ひとつぶん」という言い方は普通「個体」に対して適用する日本語なので、ある長さの一部を「ひとつ分と言いなさいと教える」ことで、今度は「正しい日本語の理解」がぶっこわれてしまいます。

また、掛け算の本質からすると「単位」は絶対に必要っていうわけではないので、常に「単位」を必要とするような説明方法も、本当の理解を阻んでしまいます。

水道方式での掛け算理解では「１あたり数」「１つぶん」という概念を前にします。よく出てくるのはお皿の上にリンゴが3つのっている、そのお皿が5セット並んでる、全部でリンゴは何個？みたいな図解です。

ここでいう「１あたり数・ひとつ分」とは、1枚のお皿に3個ずつ、という「ずつ」の個数のことですね。

だから水道方式の掛け算で式をつくると「3個×5皿=15個」となります。

ところが、この説明では「掛け算の順序問題」という問題を生じさせてしまいます。

「5×3と3×5は等しい」というのが掛け算の本質にありますが(交換法則といいます)、水道方式だと「5個のリンゴ×3セット」「3個のリンゴ×5セット」は、全然べつのことでしょ、話が変わってくるでしょ、だから「5×3=15」って計算した人は、不正解。ペケだよ、ってなってしまいます。

また水道方式ではなぜか「1つ分×いくつ分」という「順序」も固定して教えるので「いくつ分×1つ分」と逆順で計算してもダメ、間違い、という風になることがあるようです。

そのように、実は「水道方式」は「余計な問題」をやたらと増やすダメな教え方なのですが、現実の身近な物体を「ひとつ、ふたつ」とカウントすることから幼児や児童は数という概念を知ることが多いのは事実なので、「個数にこだわる水道方式」が、その後もずーっと小学生に教えられ続けているようです。

しかし「ことの本質から理解したいタイプの子ども」も世の中には沢山います。そもそも「数」を連続体や相対概念として認識する傾向が強い人は、整数を個体と紐つけすることで数を理解するわけでもなかったりするし、海外では「掛け算の交換法則」から先に教えているケースもあるようです。そうすると日本でなぜかブームになってる「水道方式」の考えに馴染めず、理解を阻まれてしまうことがあるのです。

私の考えでは、言語センスが高い人、数学センスが高い人は特に、「水道方式」で掛け算を習うと分かりづらさが出てくると思います。

＞皆さんは
＞〇×△=□の□の数はどのような数だと認識していますか？

少し堅苦しい言い回しではありますが、ペアノという数学者が『数の概念について』書いているくだりは、掛け算の本質を言い当てているように私は思います。「a×b=0」の説明として、

「a×bとは0に右作用演算（+a）をb回だけほどこしたものとする」
（小野勝次による訳）

という風に書かれています。

あなたの書いた例題「〇×△=□」でも同じです。

私の個人的な認識方法はペアノの言い方ともまた少し違ってきますが、
私の言い方で言えば、

「□とは、〇が△回くりかえされている状態」

です。3×5=15、で説明したら、その式における「15」とは、3が15回繰り返されている状態のことです。

No.6 回答者： finalbento 回答日時： 2022/04/22 23:07

小学校で初めて習ったかけ算の定義は、例えば

2×3

で言うと「2を3個足し合わせる事」すなわち

2+2+2

と言う意味だと教わりました。その後習った数学から言ってもこの考えで問題ないはずです。また後に勉強する累乗が

2^3=2×2×2

と言ったものですから、ある意味かけ算の拡張のような形になっていて自然で理にかなっていると思います。

なお「違和感を感じる」と言われる長さの問題ですが、「全部で○cm」と言う答えのどこがおかしく感じるのか、質問文だけでは全く分かりませんでした。

No.5 回答者： 元SFK会長 回答日時： 2022/04/22 22:04

◯を△倍した数・・・多くの場合、その単位は、◯と一緒。

No.4 回答者： himawari223 回答日時： 2022/04/22 21:17

こんばんは

足し算の便利形だと思います。

いくつあるかを数えるのに時間がかかるので、同じ数の山に分けて、山の数をかけると早く計算できる。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/22 21:15

掛け算の本質的なところは、複比例にあると思います。

z=xy において、z は y を固定すると x に比例しているし
x を固定すると y に比例している。
z=axy と係数 a が入るか否かは、単に z の単位の問題に過ぎません。
それを平易な言葉で戯画化するなら、
〇×△=□ は一辺 ○、他辺 △ の長方形を □ が表している
と言えばよいのではないかと思います。
ただし、単位の問題があるので、「面積」という言葉は避けて
「長方形を □」程度の曖昧な表現が妥当かと。

No.2 回答者： trajaa 回答日時： 2022/04/22 20:47

面積

No.1 回答者： 海老川散歩 回答日時： 2022/04/22 20:47

＞掛け算とは何を求めるものですか？

乗を求めます。