lim(x→0)sinx/x=1の証明についてですが、 なぜ-1/2π 0の範囲でも証明してるのです

lim(x→0)sinx/x=1の証明についてですが、
なぜ-1/2π 0の範囲でも証明してるのですか？
0〜1/2πの範囲だけではダメなのですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/09 10:08

たとえば

　1/x
で x→0 にすることを考えると、
　x → +0　(正の方向から 0 に近づける）
のときには
　1/x → ∞
になりますが、
　x → -0　(負の方向から 0 に近づける）
のときには
　1/x → -∞
となって、極限の値が変わります。

+∞ と -∞ ですから、これは「天と地ほどの違い」ですね。

お示しの場合には、運よく「x → +0」のときと「x → -0」のときの極限が一致しますが、一致しないこともよくあります。
「cos(x) /x」の「x → +0」のときと「x → -0」のときはどうですか？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/09 14:45

実変数 x に対して、

　　lim[x→a+0] f(x) と
　　lim[x→a-0] f(x) とが共通の値へ収束するならば、
　　lim[x→a] f(x) もその同じ値へ収束する
という著しい定理が成立しているからです。
これは知っておくべきです。

x が a に近づくとは、 x は x>a の範囲と x<a の範囲を
不規則に行き来しながら a に近づいてもよいはずですが、
x が x>a の範囲のみ通って a に近づくときと
x が x<a の範囲のみ通って a に近づくときに
f(x) が b に近づくならば、
x がどんな経路で a に近づいても f(x) は b に近づく
ことが判っているわけです。 すごいことですね！

だから、質問の問題でも、
x>0 の範囲で x→0 の場合と
x<0 の範囲で x→0 の場合を考察するだけで十分なのです。

この回答へのお礼

もう一つ聞きたいのですが、これは最初に
0〜90度、0〜ー90度の範囲で証明しています。
それだと90度〜180度、-90度から-180度と言った範囲外の部分はこの公式は使えないはずじゃないのですか？また、そういった範囲外の面積はどう表すのですか？

お礼日時：2022/05/10 19:31

No.2 回答者： wotsuma 回答日時： 2022/05/09 07:06

lim(x→0)sinx/x=1の証明なので、プラス側からとマイナス側からの両方が必要です。

lim(x→+0)sinx/x=1の証明でしたら、-1/2π～0の証明は不要です。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/05/09 04:04

高校だと「極限」というものをまじめに定義しないんだけど, 「x→0」というのは「x を 0 に近づける」というだけで「『どのように

」のかは規定していない. 0 の「近く」には負の値もあるから, x が負であることも当然に考えなければならない.