弱いABC予想でABCトリプルが有限個になって何の意味がありますか？

最近NHKで望月教授の宇宙際タイヒミューラ理論で弱いABC予想の証明できているとか、
できてないとかやっていまして、自分でも興味を持ってやってみました。
https://note.com/s_hyama/n/nb36cc851fd7f

たしかに、rad(ABC)に累乗する実数を選べば、有限個になるのでしょうが、
それって整数の桁数の制限してるだけで、何の意味があるのですか？

質問者からの補足コメント

• たとえば、目的が足し算と掛け算を分けたいなら、その制限によって分けて何の意味があるのかって？

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/15 12:09

• 予想を否定している訳ではないのです。
  ｘ制限してその範囲で足し算と掛け算の世界を分けたいなら、
  意味を感じますが、制限して分ける意味を感じないといってるのです。
  
  予想を否定している訳ではないのです。
  制限しないで足し算と掛け算の世界を分けたいなら、
  意味を感じますが、制限して分ける意味を感じないといってるのです。

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2022/05/16 21:23

• そもそも弱い方には興味ない学者が多く
  強い方にフェルマーの最終に対して短縮できるので
  興味を示したと聞いてますが？

    補足日時：2022/05/16 21:25

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/15 05:05

a=1

b=3^(2n)-1
c=3^(2n)
の時
c>3c/2^(n+1)≧3c/4>rad(abc)
が成り立つから

c>rad(abc)
となる
(a,b,c)は無限にある

ε=0の時
c>rad(abc)^(1+ε)
となる
(a,b,c)は無限にある

(どんなに小さな)
任意のε>0に対して
c>rad(abc)^(1+ε)
となる
互いに素な(a,b,c)は有限個しかない
というのがABC予想です

この回答へのお礼

εを無限に小さくすれば、無限個にあるのでは？

お礼日時：2022/05/15 05:32

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/15 06:02

例えば

n=[1/ε]

とすると
(どんなに小さな)
任意のε>0に対しても

n=[1/ε]

は
有限です

ABC予想は
n=[1/ε]のようなn
があると主張しているのです

(どんなに小さな)
任意のε>0に対して
c>rad(abc)^(1+ε)
となる
互いに素な(a,b,c)は
εに応じて(大きくはなるけれども)
有限個しかない
と
いうのがABC予想です

この回答へのお礼

だから、c>rad(abc)^(1+ε)になるようにεを選べば、
c>rad(abc)が無限にあるなら、
c>rad(abc)^(1+ε)も無限にあるのでは？
と何回も聞いてますね。

お礼日時：2022/05/15 06:16

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/15 09:07

ある特定のε>0に対して

c>rad(abc)^(1+ε)
となる
互いに素な(a,b,c)は有限個しかない
といっているのです

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/15 09:12

ある特定のε>0に対して

c>rad(abc)^(1+ε)
となる
互いに素な(a,b,c)は有限個しかない
といっているのです

c>rad(abc)^(1+ε)　→　c>rad(abc)　は成り立つけれども

c>rad(abc)　→　c>rad(abc)^(1+ε)　は成り立ちません

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/15 09:37

a,b,c に対して εを決めるのではありません

εに対して　a,b,c がきまるのです

ある特定のε>0に対して
c>rad(abc)^(1+ε)
となる
互いに素な(a,b,c)は有限個しかない
といっているのです

c>rad(abc)^(1+ε)　→　c>rad(abc)　は成り立つけれども

c>rad(abc)　→　c>rad(abc)^(1+ε)　は成り立ちません

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/15 09:48

a,b,c に対してεを決めるのではありません

εに対して　a,b,c がきまるのです

ある特定のε>0に対して
c>rad(abc)^(1+ε)
となる
互いに素な(a,b,c)は有限個しかない
といっているのです

c>rad(abc)^(1+ε)>rad(abc)　だから

c>rad(abc)^(1+ε)→c>rad(abc)　は成り立つけれども

c>rad(abc)→c>rad(abc)^(1+ε)は成り立ちません

{(a,b,c)|c>rad(abc)^(1+ε)}⊂{(a,b,c)|c>rad(abc)}
だから
X={(a,b,c)|c>rad(abc)^(1+ε)}⊂{(a,b,c)|c>rad(abc)}=Y
とすると
(有限)=|X|<|Y|=∞
|Y|-|X|=∞

この回答へのお礼

だからそれは制限であって、目的は？

お礼日時：2022/05/15 12:06

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/15 19:29

ある特定のε>0に対して

c>rad(abc)^(1+ε)
となる
互いに素な(a,b,c)は有限個しかない
と
いうのがABC予想ですが
これは
予想であっていまだに証明されていません
望月教授が証明したと主張しているけれども認められてはいません

単なる桁数の制限ではありません

ε>0.627
の時

c>rad(abc)^(1+ε)
となる
互いに素な(a,b,c)は

a=2
b=109・3^10
c=23^5

の1個しかない事がわかっています

ε>0.2
の時

c>rad(abc)^(1+ε)
となる
互いに素な(a,b,c)は14個しかない内の1つが

a=1
b=8
c=9

です

制限したといわれる
ε>0.627
の時の
c=23^5
の桁数の方は大きく

より制限しない方の
ε>0.2
の時
c=9
の桁数の方が小さい
ので
単なる桁数の制限ではありません

この回答へのお礼

強い方の2乗なら、フェルマーの最終定理の証明の短縮に役立つけれど、
弱い方は無限にあるのを制限して、足し算と掛け算の世界を分けれたってことにはならんでしょ？

どうもこれ以上意味はなさそうですね。
ましてや、宇宙際なんて言うほどの意味はないんでしょうね。

お礼日時：2022/05/15 23:08

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/16 10:01

訂正です

ε>0.2
の時
c>rad(abc)^(1+ε)
となる
互いに素な(a,b,c)は14個しかないというのは間違いでした
少なくとも26000以上ある事がわかりました
(だけれども有限個です)

a=1
b=3^(2n)-1
c=3^(2n)
の時
c>3c/2^(n+1)≧3c/4>rad(abc)
が成り立つから

ε=0の時
c>rad(abc)^(1+ε)
となる
(a,b,c)は無限にある

n=1の時
a=1
b=8
c=9
rad(abc)=6
だから
c=rad(abc)^(1+ε)
となるようなεを求めると
9=6^(1+ε)
ε=log(3/2)/log6≒0.226294386

だから

ε=0.2
と
選べば
c>rad(abc)^(1+ε)
となる
(a,b,c)は(1,8,9)の1個だけになる
と考えるのだけれども
そうはなりません

c>rad(abc)^(1.2)
となる
(a,b,c)は
少なくとも26007個あります
26007以上でも
ε=0.2
の時
c>rad(abc)^(1+ε)
となる
(a,b,c)は有限個しかない

任意の
ε>0に対して
c>rad(abc)^(1+ε)
となる
互いに素な(a,b,c)は有限個しかない
と
いうのがABC予想です

この予想が成り立つならば
c>rad(abc)
となる
(a,b,c)は無限にあるけれども
その無限にあるすべて(a,b,c)に対して
ε=log{c/rad(abc)}-1
を求めて
εの大きい順に並べることができるのです
(自然数の集合Nと(逆)順序同型となる)

だけれども

この予想が成り立たないならば
ε_0>0に対して
c>rad(abc)^(1+ε_0)
となる
互いに素な(a,b,c)が無限にあるような
ε_0>0
が存在するから

無限にある(a,b,c)の内の
ε=log{c/rad(abc)}-1>ε_0
となるものだけしか
εの大きい順に並べることができないのです

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/16 10:12

a=1

b=3^(2n)-1
c=3^(2n)
の時
c>3c/2^(n+1)≧3c/4>rad(abc)
が成り立つから

ε=0の時
c>rad(abc)^(1+ε)
となる
(a,b,c)は無限にある

n=1の時
a=1
b=8
c=9
rad(abc)=6
だから
c=rad(abc)^(1+ε)
となるようなεを求めると
9=6^(1+ε)
ε=log(3/2)/log6≒0.226294386

だから

ε=0.2
と
選べば
c>rad(abc)^(1+ε)
となる
(a,b,c)は(1,8,9)の1個だけになる
と考えるのだけれども
そうはなりません

c>rad(abc)^(1.2)
となる
(a,b,c)は
少なくとも26007個あります
26007以上でも
ε=0.2
の時
c>rad(abc)^(1+ε)
となる
(a,b,c)は有限個しかない

任意の
ε>0に対して
c>rad(abc)^(1+ε)
となる
互いに素な(a,b,c)は有限個しかない
と
いうのがABC予想です

この予想が成り立つならば
c>rad(abc)
となる
(a,b,c)は無限にあるけれども
その無限にあるすべて(a,b,c)に対して
ε=logc/log{rad(abc)}-1
を求めて
εの大きい順に並べることができるのです
(自然数の集合Nと(逆)順序同型となる)

だけれども

この予想が成り立たないならば
ε_0>0に対して
c>rad(abc)^(1+ε_0)
となる
互いに素な(a,b,c)が無限にあるような
ε_0>0
が存在するから

無限にある(a,b,c)の内の
ε=logc/log{rad(abc)}-1>ε_0
となるものだけしか
εの大きい順に並べることができないのです

この回答へのお礼

それが足し算と掛け算の世界を分けることと何の関係があるんですか？

お礼日時：2022/05/16 14:58

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/16 16:59

「

rad(ABC)に累乗する実数を選べば、有限個になる
」
の
有限個になるかどうかの証明は
「
整数の桁数の制限をしているだけではないので
」
非常に難しいのです

この回答へのお礼

無限でも分けれるなら、意味あると思いますが、
桁数制限して、難しい割に意味あるのかなあ？

お礼日時：2022/05/16 19:04