ピラミッドブロックの合計数

1cmのブロックがあります。
これでピラミッドを作ります。

1番上　1*1 = 1
2段目　3*3 = 9
3段目　5*5 = 25
4段目　7*7 = 49

n段のとき
n段目のブロック数と和(合計)、外周の数、体積を求める公式を教えてください

4段だと
4段目のプロック数49,
ブロック合計84、
外周の数24(49-25)
体積？

No.2 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/17 21:31

プロック数　(2n-1)²

ブロック合計
　Σ(2k-1)²=Σ(4k²-4k+1)=(4/6)n(n+1)(2n+1)-(4/2)n(n+1)+n
　=(1/3)n{2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3}
　=(1/3)n(4n²-1)

外周の数　n=1 のとき、1
　　　　　n≧2 のとき
　　　　　　　(2n-1)²-(2(n-1)-1)²=(2n-1)²-(2n-3)²
　　=8(n-1)
体積
　　Σ(1/3)k(4k²-1)=(1/3)Σ(4k³-k)=(1/3)[{4(n(n+1)}²-n(n+1)/2]
　　　=(1/6)n(n+1)(2n²+2n-1)

No.4 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/05/18 11:17

>>この部分をexcelの表で書くとどうなるかわかりますか？

A列に縦に、1,2,3,4・・・・・・
B1に=(2*A1-1)^2　これを下までコピペ

B列のSUMで結果。

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2022/05/17 21:36

n段目は一辺 L(n) = 2n-1個のブロックできた正方形。

なので、
● 外周にあるブロックの個数は
　　4(L(n)-1) = 8(n-1)
● n段目にあるブロックの個数は
　　(L(n))^2 = (2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1
● 1段目からn段目までのブロックの総数V(n)は
　　V(n) = Σ{k=1〜n}((L(k))^2)
　　　　 = Σ{k=1～n}(4k^2 - 4k + 1)
　　　　 = 4Σ{k=1～n}(k^2) - 4Σ{k=1～n}(k) + Σ{k=1～n}(1)
　　　　 = 4(n(n + 1)(2n + 1)/6) - 4(n(n + 1))/2 + n
　　　　 = (2/3)n(n + 1)(2n + 1) - 2n(n + 1) + n
　　　　 = (4/3)n(n + 1)(n - 1) + n
　　　　 = (4/3)n(n^2 - 1) + n
　　　　 = (1/3)n(4n^2 - 1)
ですね。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/05/17 20:58

等差数列。

1辺が1,3,5,7,9・・・・と増えてく。

n段目の1辺は2n-1で、正方形

ブロック数:(2n-1)²

和(合計): Σ(2n-1)²=4n(n+1)(2n+1)/6 - 4n(n+1)/2 + n
[以降の計算はご自身で]

外周の数:4(2n-1)-4
[以降の計算はご自身で]


体積:和(合計)cm²

この回答へのお礼

ありがとうございます。

和(合計): Σ(2n-1)²=4n(n+1)(2n+1)/6 - 4n(n+1)/2 + n

この部分をexcelの表で書くとどうなるかわかりますか？
普通のSUMだと行、または列の合計になってしまうのでうまく行きません。

お礼日時：2022/05/17 21:27