線積分の問題について

画像の線積分の問題について、
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になったのですが合っていますか？
間違っていれば解説お願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/06/03 20:09

解らないのは、F(r) = xi + yj + zk という書き方が

説明不足で何言ってるか判らない式だからです。
こんいいかげんな書き方をしてはいけない。
これは問題文ですが、答案に書いたら大幅減点です。
[4][5][6]の解答欄から見て、この式は x,y,z を実変数として
F(xi + yj + zk) = xi + yj + zk ということが表したい
のだと思われます。表せてないし、
それなら F(r) = r とでも書いたほうがいいけど。
式をそのように解釈した上で解答すると...

r = ti + tj + (t^2)k を t で微分して
dr/dt = 1i + 1j + 2tk になることを
便宜的に dr = (1i + 1j + 2tk)dt とも書きます。
答えは [1] 1 [2] 1 [3] 2t です。

F(xi + yj + zk) = xi + yj + zk なのであれば、
これに xi + yj + zk = r(t) = ti + tj + (t^2)k を代入して
F(r(t)) = ti + tj + (t^2)k です。
答えは [4] 1 [5] 1 [6] 1.

上記の２つを使って、線積分は
S = ∫[C] F(r)・dr
= ∫[0,1](ti + tj + (t^2)k)・(1i + 1j + 2tk)dt
= ∫[0,1](t + t + 2t^3)dt です。
答えは [7] 0 [8] 1 [9] 2 [10] 0 [11] 2.

計算すると、
S = ∫[0,1](2t + 2t^3)dt
= [ t^2 + (1/2)t^4 ]_{0,1}
= (1^2 + (1/2)1^4) - (0^2 + (1/2)0^4)
= 3/2.
答えは [12] 3 [13] 2 になります。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/06/03 15:31

8まであってると思いますが

9から違ってませんか？