No.2
- 回答日時:
0≦θ≦πだから
0≦(cosθ-1)² が成り立つ
(等号成立はθ=0のとき)
⇔0≦cos²θ-2cosθ+1
⇔1≦cos²θ-2cosθ+2
⇔1-cos²θ≦2(1-cosθ)
⇔sin²θ≦2(1-cosθ)
(半角公式:sin²(θ/2)=(1-cosθ)/2
⇔4sin²(θ/2)=2(1-cosθ)
を用い)
⇔sin²θ≦4sin²(θ/2)
(0≦θ≦πではsinθ,2sinθ/2がともに0以上で
あるから両辺1/2乗(ルート)
にしても大小関係は変わらず)
⇔sinθ≦2sinθ/2
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
2倍角の公式を使って
sinθ = 2sin(θ/2)cos(θ/2)
なので、
2sin(θ/2) - sinθ
= 2sin(θ/2) - 2sin(θ/2)cos(θ/2)
= 2sin(θ/2)[1 - cos(θ/2)] ①
0≦θ≦πのとき、
0 ≦ θ/2 ≦ π/2
ですから、この範囲では
sin(θ/2) ≧ 0
0 ≦ cos(θ/2) ≦ 1
なので、
① ≧ 0
従って
2sin(θ/2) - sinθ ≧ 0
よって
sinθ ≦ 2sin(θ/2)
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