【数学ⅲ微分】e^xの微分と、x^pの微分の違いがわかりません…

【数学ⅲ微分】e^xの微分と、x^pの微分の違いがわかりません…
数学ⅲで習う微分についてですが、
「x^p=x^p-1」
となるのはわかるのですが、
【e^x=e^x】となる理由がわかりません。
「e^x=e^x-1」
ではだめな理由と、【e^x=e^x】が成り立つ理由を教えて下さい。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/08 14:53

高校の教科書では、e を e = lim[n→∞] (1 + 1/n)^n で定義する。

極限の定義を扱わずに、例の「近づけば近づく」という説明で済ましつつ
e に確実な定義を与えたように印象づけるためには、
数列の極限で考えるのがよいという判断なのだろう。
生徒にとっては e = … という形式に安心感があるという配慮もあるだろう。
しかし、この定義にはマズい面もある。
e は主に微分,積分と関連して使うものだが、極限を正確に定義しないと
lim の順序交換が扱えないので、lim の入った式内部の e を
この定義で置き換えて計算を進めることはできないのだ。
これでは、せっかく e = … という形式で定義したありがたみがない。

e = lim[n→∞] (1 + 1/n)^n から (e^x)’ = e^x を導くのも、
けっこう面倒で、そこそこ長い計算を要する。
むしろ、関数 e^x を先に定義して e は e = e^1 で定義するほうが
流れが自然で、手間も少ない。 こちらの定義の下に
e = lim[n→∞] (1 + 1/n)^n を証明するのは比較的簡単なのだが。

...ま、ゴタクはともかく、(e^x)’ = e^x を導いてみようか。
教科書での指数関数の定義より、指数法則は仮定されているから
(e^x)’ = lim[h→0] (e^(x+h) - e^x)/h
　　　　= (e^x) lim[h→0] (e^h - 1)/h は言える。
lim[h→0] (e^h - 1)/h = 1 を示せばよいことになる。←[*1]

これを t = e^h - 1 で置換すると
lim[h→0] (e^h - 1)/h = lim[t→0] t/log(1 + t)
　　　　　　　　　　　= 1/{ lim[t→0] (1/t)log(1 + t) }
　　　　　　　　　　　= 1/log{ lim[t→0] (1 + t)^(1/t) }.
更に x = 1/t で置換すると
lim[t→0] (1 + t)^(1/t) = lim[x→±∞] (1 + 1/x)^x.
結局、 lim[x→±∞] (1 + 1/x)^x = e を示せば [*1] は示される。←[*2]

e = lim[n→∞] (1 + 1/n)^n と定義したのだが、
このとき n は自然数変数(添字)であった。
正の実数 x に対して n ≦ x < n+1 となる自然数 n が存在するが、
(1 + 1/(n+1))^n < (1 + 1/x)^x < (1 + 1/n)^(n+1) が成り立つ。
ここで n→∞ の極限を考えると、
lim[n→∞] (1 + 1/(n+1))^n = lim[n→∞] { (1 + 1/(n+1))^(n+1) }/(1 + 1/(n+1))
　　　　　　　　　　　　　　= e/(1 + 0) = e,
lim[n→∞] (1 + 1/n)^(n+1) = lim[n→∞] { (1 + 1/n)^n }・(1 + 1/n)
　　　　　　　　　　　　　　= e・(1 + 0) = e.
よってハサミウチの定理により、 lim[x→+∞] (1 + 1/x)^x = e.

また、x = -(y+1) で置換すると
lim[x→-∞] (1 + 1/x)^x = lim[y→+∞] ( y/(y+1) )^-(y+1)
　　　　　　　　　　　　= lim[y→+∞] ( (y+1)/y )^(y+1)
　　　　　　　　　　　　= lim[y→+∞] { (1 + 1/y)^y }・(1 + 1/y)
　　　　　　　　　　　　= e・(1 + 0) = 1.
以上を合わせれば、実変数 x について
lim[x→±∞] (1 + 1/x)^x = e が言えて、[*2] より [*1] となる。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/08 13:16

訂正です

x^pのxによる微分は

lim_{h→0}{(x+h)^p-x^p}/h=px^(p-1)

e^xのxによる微分は

lim_{h→0}{e^(x+h)-e^x}/h
=lim_{h→0}{(e^x)e^h-e^x}/h
=lim_{h→0}(e^x)(e^h-1)/h
=(e^x)lim_{h→0}(e^h-1)/h

↓lim_{h→0}(e^h-1)/h=1だから

=e^x

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/08 03:48

x^pのxによる微分は

lim_{h→0}{(x+h)^p-x^p}/h=x^(p-1)

e^xのxによる微分は

lim_{h→0}{e^(x+h)-e^x}/h
=lim_{h→0}{(e^x)e^h-e^x}/h
=lim_{h→0}(e^x)(e^h-1)/h
=(e^x)lim_{h→0}(e^h-1)/h

↓lim_{h→0}(e^h-1)/h=1だから

=e^x

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/08 00:06

x^p と p^x の違いは分かりますか？

＞「x^p=x^p-1」
＞となるのはわかるのですが、

そんな書き方をしていること自体が「分かってない」証拠だよ。
イコールなわけがないし

　(x^p)' = px^(p - 1)

だよ。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2022/07/07 23:18

違いも何もまるっきり別物でしょうが。

ウルトラマンとディープインパクト以上の違いがあります。

No.1 回答者： puyo3155 回答日時： 2022/07/07 21:54

e^xの微分と、x^pの微分の違いがわかりません…

まず、両者はまったく別物ですよね。なので、違いは自明です。

e^x　の微分が　e^xになる理由だけ考えてみましょう。
簡単です、そうなるようにe を定義したからです。

ちゃんと証明したければ、

eの定義　lim（n＞∞） (1+1/n)^n を使って、微分の定義に当てはめて計算してみてくださいね。