「不等式 2ax≦6x+1 を解け.ただし，a は定数とする。」という問題の場合分けについてわからな

「不等式 2ax≦6x+1 を解け.ただし，a は定数とする。」という問題の場合分けについてわからないところがあります。
(2a－6)xが1より小さくなる場合があるような気がするのですがどのようにかんがえたらよいのでしょうか？

(2a−6)x≦1 と変形した後、(2a－6)が正なのか負なのかで不等号が変わってしまうから場合分けをしようという流れになるのだと思うのです。

そして、aが3を基準に正か負か0かが決まってくると思います。

ここで、具体的に考える必要はないですが、
例えば aが3.01（正）だったとき、(2a－6)=0.02となりますよね。
0.02x ≦1が満たされないxもある気がするのですが
これについては考えなくていいのでしょうか？

数学が苦手なので、わかりやすく教えてくださると助かります。
よろしくお願いいたします！

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/07/09 20:46

2ax≦6x+1

a>3の時
(2a-6)x≦1
2a-6>0だから
(2a-6)x≦1
↓両辺を(2a-6)で割ると
∴
x≦1/(2a-6)

a=3の時
(2a-6)x≦1
0=0x≦1
だから
∴
xは全ての実数

a<3の時
2ax≦6x+1
↓両辺に-2ax-1を加えると
-1≦(6-2a)x
↓両辺を(6-2a)>0で割ると
∴
-1/(6-2a)≦x

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/09 19:49

＞ (2a−6)x≦1 と変形した後、

＞ (2a－6)が正なのか負なのかで不等号が変わってしまうから
＞ 場合分けをしようという流れになるのだと思うのです。

大正解。 これは、そういう問題です。

＞ 0.02x ≦1が満たされないxもある気がするのですが
＞ これについては考えなくていいのでしょうか？

当然、考えなくてはいけません。
0.02x ≦1 が満たされる x と満たされない x を区別することが
「不等式 0.02x ≦1 を解く」ということです。
0.02x ≦1 が満たされる x の範囲を求めなくてはならないのです。
それは、 x ≦ 1/0.02 ですね？

じゃあ、 (2a−6)x≦1 についてはどうすればよいのでしょう。
あなたが気づいたとおり、
(2a-6) の正負によって変形後の式は違ってきます。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2022/07/09 18:43

惜しい所まで理解できているのですよ。

> 0.02x ≦1が満たされないxもある気がする

この問題が問うているのは、0.02x <= 1 が満たされる x の範囲を書けという事です。だから満たされない x がある、というのは、その通りですけれども、x がどういう範囲だったら、必ず満たされますか？　という事が問われています。

それを拡張して、a = 3.01 でなくて、色んなパターンの a の場合であっても、この不等号が必ず成立する x の範囲は何ですか？　という事です。