分数の計算で、分母を消して計算する方法があると思うのですが、消し方がわかりません。
例えば、
280×10/100=(x+280)×10/100
という問題で、分母の100を消す場合、どうすればいいのでしょうか?全体に100をかけるということはわかるのですが、全体って・・・わかりません。
どなたかわかる方お願いします。

A 回答 (8件)

方程式の解を求めるときは、左辺と右辺に同じ数字を加減乗除することがあります。



これは、方程式は左辺と右辺が同じ値であることから、同じ値で書き方が違うだけのAとA’(例えば6と(2+4))に同じ数字B(例えば3)を加減乗除(*)しても同じ数字になることは、明らかだと思います。

(*)加減乗除
・A+B=A’+B
・A-B=A’-B
・A×B=A’×B
・A÷B=A’÷B
・B÷A=B÷A’

さて、質問の「全体に100をかける」というのは、この左辺、右辺のそれぞれに100をかけることを指します。
つまり、上で言うAを左辺全体、A’を右辺全体、Bを100として、上のかけ算の操作をすることになります。
(イメージとして、いったん左辺と右辺を括弧でくくった上で、100をかけると思うとわかりやすいと思います。)
このとき、分配則がありますから、括弧を展開することができ、各項(足し算、引き算で結ばれている各部分のこと)に100をかけることと同じ(#)になるので、「全体に100をかける」という言葉遣いをしているのだと思います。

(#)(P+Q)×100 = P×100+Q×100

この回答への補足

朝から詳しい解説をどうもありがとうございました。
あまりにも難しくて最初はちょっとわからなかったのですが、
(#)(P+Q)×100 = P×100+Q×100
この式でわかりました。全部に一つ一つ100をかけるんですね。でも、この間習ったときに、なぜか分母を払った後の続きがこうなってました。
2800=8x+2240
一つ一つかけたら2800は280000になりませんか?
xも8xではなくて800xになるとおもうのですが・・・どうしてでしょうか???
いったいどこに分母の100をかけるのですか?
分数にだけかけるのですか???
できれば質問した式を使って、詳しい計算式を教えてください。お願いします。(_ _〃)

補足日時:2005/04/01 07:11
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もうちょっと付き合おうかな.#2さんの補足に補足する感じで.


分配法則は,#2さんが書いてるとおり,
P(Q+R)=PQ+PR
というものですね.一方,
(280×10)÷100×100
という式は,掛け算式が連続している式(乗算と除算は等価でしたね)です.ですから,これは分配法則は使えなくて,
280×10÷100×100
と同じことになります.これは,いわゆる交換法則というもので,
P×Q×R=(P×Q)×R=P×(Q×R)
というものです.掛け算式のみならば,括弧は好きにつけてもいいし,はずしてもいいということです.

これをもとにして分母を払う部分をやると,
→ 280×10/100=(x+280)×8/100
両辺に100をかける
→ 280×10/100×100=(x+280)×8/100×100
/100×100の部分は1だから消えて,
280×10=(x+280)×8
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
やっぱり今の私には理解ができないみたいです。。。

お礼日時:2005/04/01 09:45

No.6への補足.


この式は,両方とも分母が100である分数式になってますね?
で,分母が同じである2つの数が等しいなら,分子が等しくないといけないわけです.
#2さんも書いてますが,
P÷Q=R÷Q ←→ P=R
ということですね.
というわけで,「分母を払う」ことができるのです.
とはいえ,質問主さんがおいくつなのか知りませんが,もう少し方程式を一般的に解けるように,練習をつんだほうがいいですね.
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この回答へのお礼

すみませんでした。何度も回答いただいて・・・
確かに、
>とはいえ,質問主さんがおいくつなのか知りませんが,もう少し方程式を一般的に解けるように,練習をつんだほうがいいですね.
secretdさんのおっしゃるとおりです。
私は、方程式というものを習ったことがなかったので、最近勉強する機会がるのですがあまり良くわかっていなかったです。
でも、解らないのでこういう書き方をされても理解ができないんですよ。(バカなので・・・すみません)
なので、本当は詳しく式にして頂いたり、解りやすく噛み砕いたりしていただけると嬉しかったのですが。
まぁ、そんなにわがままを言ってはいけませんよね。
私が悪かったです。謝ります。

それから、この質問に答えていただいた皆様、朝から本当にどうもありがとうございました。
問題の式も間違えていたみたいで・・・本当に申し訳ありませんでした。
なので、締め切らせていただくことにします。
間違いを指摘してくださったsecretdさん、本当にありがとうございました。あなたに指摘していただいていなかったら、気付かずにいました。ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/01 09:40

質問主さんの式がそもそも違いますやん.


右辺は,水を入れた後,8%になることを言わないといけないから,
280×10/100=(x+280)×8/100
ですよね???
そうだとすると,
両辺の分母の100を払って,
280×10=(x+280)×8
分配法則より
2800=8x+2240
移項して
8x=560
x=70
とちゃんとでますね.
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この回答へのお礼

朝からの解答ありがとうございました。
そうでした。すみません。。。
式自体間違えてましたね。
すみませんでした、本当に・・・
間違った箇所を教えていただきありがとうございました。
でも、私が知りたいのは分母を払うときにどのようになって分母が結果的に払われるのか?というところだったんです。
本当にご迷惑をおかけしました。
ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/01 09:32

(念のために)この式はわざわざ最初に100をかけなくても、簡単に解けますよね^^;難しく考える必要はなく、簡単な形に整理してから、両辺にいくらかをかけたり、割ったりする方が賢明では?


280×10/100=(X+280)×10/100
280×1/10=(X+280)×1/10・・・分数を約分した
28=X/10+28・・・かっこを展開でけした
0=X/10+28-28・・・左辺(イコールの左)の28を右辺に移動
0=X/10・・・28-28を計算した
0=X・・・両辺を10倍した

如何でしょうか?
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この回答へのお礼

朝から質問に答えていただきありがとうございました。
X=0ですか???
この問題の答えはX=70になるのですが・・・
そもそも、この問題は塩水計算の問題でして・・・
10%の塩水280gを8%の塩水にするにはどのくらい水を加えればよいか?
という問題から式を作ったのです。
で、途中で分母を払うのがわからなくなってしまって・・・
でも、X=0ではないんですけど。。。
すみません、違っていたら。。。

お礼日時:2005/04/01 08:39

No.3の第3段落の括弧書きの部分の日本語がおかしいので修正します。



(かけ算でつながっている部分は一つながりとかんがえるため、この場合の左辺は全体で1つの項と考えます。:実は右辺も足し算がありますが、括弧でくくられているため、別の項とは見ないで1つの項と考えます。)
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No.2です。



補足と言うことで、左辺についてどういうことか説明しましょう。

280×10/100の全体に100をかけるとは、「(280×10/100)×100」ということです。(かけ算でつながっている部分は項ではないので、左辺は全体で1つの項と考えます。:実は右辺も足し算がありますが、括弧でくくられているため、別の項とは見ないで1つの項と考えます。)

したがって、
  (280×10/100)×100=280×10/100×100=280×10=2800
となります。

「全体に」に意味が出てくるのは、例えば、
  x/8 + 5 = x/6 +4
のようなときで、
  (x/8 + 5) × 24 = (x/6 +4) × 24
  x/8 × 24 + 5× 24 =x/6 × 24 +4 × 24  (*)
  (以下略)
この(*)は最初の式の各項「全て」に24を掛けているので、「全体に」という言葉に意味が出てくるわけです。

この回答への補足

何度も回答ありがとうございました。
結局のところ、こういうことですか???
   280× 10 ×100
(1) ――――――――― と考えていいのですか?
    1 ×100× 1
↑は分数です。

私は、
   280×100    10 ×100
(2) ――――――×―――――という風に・・・
    1 × 1    100× 1
両方に100をかけるものだと思ったんですが。
でも、(1)のほうが計算しやすいですよね。(2)みたいに一つ一つに100をかけるのも面倒ですし・・・
でも、問題の=の右側は(2)のように一つ一つかけるんですよね。↓
 x ×100  280×100    8 ×100
―――――×――――――×――――――
 1   1    1 × 1    100× 1
なぜ=の左側と一緒の計算式にしてはいけないんでしょうか?(問題によって、計算の仕方は変わるのでしょうか?)そもそも、どちらのやり方((1)、(2)両方のかけ方)でも、答えは一緒ですよね。一つ一つにかけても両方を一つと考えて100をかけても答えは一緒だったら、両方をひとつと考えて100をかけてもいいのでは???もしかして、そういう考えだと他の問題が出たときに正確な解答が得られないのですか?
もし、そうでないのなら、私は(1)の様なやり方で分母を消したほうが面倒臭くなくていいのですが。。。
何度も、質問してすみません。疑問が増えてしまったのでもう一度だけよろしければお答えしていただけませんでしょうか?
迷惑でしたら結構ですので。。。

補足日時:2005/04/01 08:29
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右側にも左側にもどちらにも100をかけるという意味です。

この回答への補足

朝からどうもありがとうございました。
あの、もうひとつ質問なんですが。
それだけでは意味がわからないので教えてください・・・
この間習ったときに、なぜか分母を払った後の続きがこうなってました。
2800=8x+2240
全部にかけたら2800ではなく280000になりませんか?
xも8xではなくて800xになるとおもうのですが・・・
いったいどこに分母の100をかけるのですか?
分数にだけかけるのですか???
できれば詳しい計算式を教えてください。お願いします。(_ _〃)

補足日時:2005/04/01 07:05
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やはり,TeX(テフ)を使うのがいいでしょう.

数学の講師ともなれば,TeX なしでは過ごせなくなります.短期間の数ヶ月だけ数学講師を努める,というのであれば,TeX までは必要ありませんが・・・.数学の講師ですから,常に数式を扱うでしょう.こうなると,TeX しかないと思います.TeX ならば,分数,微積分記号,その他,全ての数学記号を記述できます.

今現在,TeX 以上に優れた組版ソフトはありません.日本および世界の出版社でも TeX を用いて書籍を出版しているのが現状です.

パソコンが苦手とのことですが,誰かに手伝ってもらうという手もあります.とりあえず,TeX が使える人に数学のテスト・プリントを作ってもらうとか・・・.

差し出がましい様ですが,将来の為に,是非,TeX を習得して下さい.TeX は,インターネット上で無償で,提供されています.例えば,

http://w32tex.org/ です.

(注)ここでは,TeX という用語を,LaTeX , pLaTeX2e などの総称として使っています.

参考URL:http://w32tex.org/

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E E
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------
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※計算の過程を教えて下さい。 宜しくお願いします!

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かな?

基本的な事を確認しましょう。
必要なのは、
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  両辺に同じ数を掛けても式は変わらない
ということです。

まず左辺の分子分母に(10+R)を掛けましょう。
すると左辺は
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となり、(分母がさらに分数)という状況は解消します。

ここまでで元の式は
  (E*(10+R))/(2+10R) = 3E/(2+10R)
となります。
更に、ここから両辺に(2+10R)を掛けましょう。
すると
  E*(10+R) = 3E
ついでに両辺をEで割ると
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必要なのは、
  分子分母に同じ数を掛けても値は変わらない
  両辺に同じ数を掛けても式は変わらない
ということです。

まず左辺の分子分母に(10+R)を掛けましょう。
すると左辺は
  (E*(10+R))/((2+10R)*(10+R)/(10+R)) = (E*(10+R))/(2+10R)
となり、(分母がさらに分数)という状況は解消します。

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標準インストールでは、数式3.0が入っていないかもしれません。見つからない場合は、「コントロールパネル」-「アプリケーションの追加と削除」で、MicrosoftOfficeから、追加してください。

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19÷3という計算を自分で操作したのならもちろんそれが 19 / 3 だということは判る訳ですが。

参考までに少数表示の数を近似する分数を求める方法を紹介させていただきます。
連分数を使います。

例えば、3.141592654の場合。

   141592654
=3+――――――
  1000000000

     1
=3+――――――
    8851422  ←(1000000000/141592654のあまり)
  7+―――――  ←7=(1000000000/141592654の整数部)
   141592654

     1
=3+――――――――
      1
  7+―――――――
     8821324
   15+―――――
     8851422

     1
=3+―――――――――
      1
  7+――――――――
       1
   15+――――――
       30098
     1+―――――
      8821324

     1
=3+――――――――――
      1
  7+―――――――――
       1
   15+―――――――
        1
     1+――――――
         2610
      293+――――
        30098
    :
    :
  以下省略

以上の結果から近似値を表す分数は、
 3 + 1 / 7 までとると、
 = 22 / 7

 3 + 1 / (7 + 1 / 15) までとると、
 = 333 / 106

 3 + 1 / (7 + 1 / (15 + 1 / 1)) までとると、
 = 355 / 113

 3 + 1 / (7 + 1 / (15 + 1 / (1 + 1 / 293) までとると、
 = 104348 / 33215

という風に求めることが出来ます。

19÷3という計算を自分で操作したのならもちろんそれが 19 / 3 だということは判る訳ですが。

参考までに少数表示の数を近似する分数を求める方法を紹介させていただきます。
連分数を使います。

例えば、3.141592654の場合。

   141592654
=3+――――――
  1000000000

     1
=3+――――――
    8851422  ←(1000000000/141592654のあまり)
  7+―――――  ←7=(1000000000/141592654の整数部)
   141592654

     1
=3+――――――――
      1
  7+―――――――
     ...続きを読む

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その文字に何の数字が入れば式が成り立つか?
と言うのが答えとなりますね。
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例2*0.5*10=2*0.2*v
これが解けるなら、同じことですよ。
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