グラフの概形を書けという問題です。 分からず困っています。 書き方を教えていただきたいです。 f(x

グラフの概形を書けという問題です。
分からず困っています。
書き方を教えていただきたいです。

f(x)=x^3-x^2-x+1

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/07/31 22:15

２次関数のグラフが放物線であるように、

３次関数のグラフも知ってて当然なんだよね。
教科書に出てんだから。

３次関数には、極値がある場合とない場合があり、
いずれの場合も、変曲点を中心に点対称の
シグモイド形をしている。

lim[x→+∞] x^3-x^2-x+1 = +∞ に気づいたら、
後は変曲点と極小点の座標が判れば概形が書けね？
f’(x) = 3x^2-2x-1 = 0 ⇔ x = 1/3 ± 2/3 だから、
変曲点は x = 1/3 で、極小点は x = 1/3 + 2/3.
そのときの f(x) の値は f(x) = x^3-x^2-x+1 に代入すりゃ判る。
後は変曲点,極小点,極大点を S 字っぽい曲線で
ぬるっとつないで、点対称っぽく仕上げればok.

たったこれだけのことにPC使うなんてダセェよ。

No.6 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/07/31 17:29

#5です。

#4さんの方法（微分して増減傾向や極値を調べる）は、学校で学ぶ方法で、私の方法（刻んだ値を代入して求めた値をプロットする）は実務者が行う方法です。
式があるなら、数値を代入した方が早いから。

#4さんは極値を計算しておられますので、それが分かるグラフを添付しておきます。（描画範囲を狭くしています）

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/07/31 16:31

描きたい範囲（例えば、x＝－10～10）で数値計算して線で結びます。

　x　　　y
-10 -1089
　-9　-800
　-8　-567
　-7　-384
　-6　-245
　-5　-144
　-4　 -75
　-3　 -32
　-2　　-9
　-1　　 0
　 0　　 1
　 1　　 0
　 2　　 3
　 3　　16
　 4　　45
　 5　　96
　 6　 175
　 7　 288
　 8　 441
　 9　 640
　10　 891

添付図は、0.1刻みで計算し作図しています。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2022/07/31 16:22

f'(x) = 3x^2 - 2x - 1 = (3x + 1)(x - 1) = 0

を満たすのは
　x=-1/3, 1

このとき
　f''(x) = 6x - 2
なので
　f''(-1/3) = -2 - 2 = -4 < 0
よって x=-1/3 は極大点。
（接線の傾きが　正→負　に変化しているということだから）

　f''(1) = 6 - 2 = 4 > 0
よって x=1 は極小点。
（接線の傾きが　負→正　に変化しているということだから）

以上から、増減表を作れば

-∞<x<-1/3：単調増加。
x = -1/3：極大。極大値は f(-1/3) = 32/27
-1/3<x<1：単調減少。ｙ切片は y=1
x = 1：極小。極小値は f(1) = 0
1<x<∞：単調増加。

このぐらいの情報があれば、グラフが書けるでしょう。

あとは、もう一つの x 軸との共有点が、x=1 が重根になることから
　f(x) = (x - 1)^2･(x + 1) = 0
より
　x=-1
ということも使える。

No.3 回答者： nantokanaru 回答日時： 2022/07/31 14:19

１）f'を求める

２）f''を求める

３）極値を入れた増減表を書く

４）増減表に書かれた数字を基にグラフを描く

という流れです。

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2022/07/31 14:19

y=f(x)=x³-x²-x+1 。

f'(x)=3x²-2x-1=(3x+1)(x-1) 。
f'(x)=0 から 極点は x=-1/3 , x=1 。

つまり x³ の係数が 正 ですから、グラフは
x=-1/3 で 極大値を取り、y 軸との交点は (0, 1) で
x=1 で 極小値を取ることになります。
極大値・極小値の値は f(-1/3), f(1) で 求めて下さい。

No.1 回答者： Dendrocacalia 回答日時： 2022/07/31 14:17

それは基本通り、微分して導関数を求めましょう。

そして増減表を書き、極大・極小を調べます。
また、x軸、y軸との交点を求めましょう。x＝1で0になることは暗算で分かりますね。それが2重解で、他の解はx＝-1です。
それらの点をプロットして、滑らかな曲線でつなぎます。