数列の問題です

1^2, 1^2+2^2, 1^2+2^2+3^2, 1^2+2^2+3^2+4^2+…
の第k項と、第1項から第n項までの和を求めなさい
という問題です

どんどん増えてくのでどう解いたらいいかわかりません…
教えてください！

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/09/12 19:46

階差が m 次多項式になるような多項式は、

m+1 次多項式なんです。
これは、m+1 次多項式 f(x) を使って
f(n+1) - f(n) を計算すると、n の m+1 次項が引き算で相殺されて
m 次多項式になることによります。

だから、Σ[k=1,n] k^3 も Σ[k=1,n]{ 2k^3 + 3k^2 + k } も
n の 4 次多項式で書けることはオヤクソクなわけです。
それを Σ[k=1,n]{ 2k^3 + 3k^2 + k } = An^4 + Bn^3 + Cn^2 + Dn + E　←(＊)
と置くと、両辺の階差をとって
2(n+1)^3 + 3(n+1)^2 + (n+1) = A(4n^3+6n^2+4n+1)
　　　　　　　　　　　　　　+ B(3n^2+3n+1)
　　　　　　　　　　　　　　+ C(2n+1)
　　　　　　　　　　　　　　+ D.
これを n について整理すると、
(4A-2)n^3 + (6A+3B-9)n^2 + (4A+3B+2C-13)n + (A+B+C+D-6) = 0
となって、これが n について恒等的に成り立つ条件は
4A-2 = 6A+3B-9 = 4A+3B+2C-13 = A+B+C+D-6 = 0 です。
あと、(＊) が n = 1 でも成り立つように、
2・1^3 + 3・1^2 + 1 = A・1^4 + B・1^3 + C・1^2 + D・1 + E.
以上の式を A,B,C,D,E の５元５連立一次方程式として解くと、
(＊) の右辺が定まって、No.3 と同じ解になります。

この手法を、直接 Σ[k=1,n]{ 2k^3 + 3k^2 + k } に使うのでなくて
Σ[k=1,n] k^3 とか Σ[k=1,n] k^4 とかに使えば、
汎用性の高い公式を得ることもできます。
Σ[k=1,n] k^3 = (1/4)(n^2)(n+1)^2 は、そのようにして作るのです。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/09/12 19:24

数列を「...」を使って定義したようなしないような形にしておきながら、

「求めなさい」という出題は不適切かなあ。
「推測しなさい」とか「提案しなさい」とか言うべきでしょう。(笑

さて、1^2, 1^2+2^2, 1^2+2^2+3^2, 1^2+2^2+3^2+4^2+…
の第 k 項を Σ[j=1,k] j^2 と推測して、これを a(k) = Σ[j=1,k] j^2 と置くと、
a(k) の第 1 項から第 n 項までの和は S(n) = Σ[k=1,n] a(n) です。
この a(k) と S(n) を多項式で書いてみましょうか。

a(k) は、高校の教科書に載っている公式どおりで、
a(k) = Σ[j=1,k] j^2 = (1/6)k(k+1)(2k+1) です。

S(n) = Σ[k=1,n] a(n) = Σ[k=1,n] (1/6)k(k+1)(2k+1)
　　= (1/6) Σ[k=1,n]{ 2k^3 + 3k^2 + k }
　　= (2/6)Σ[k=1,n] k^3 + (3/6)Σ[k=1,n] k^2 + (1/6)Σ[k=1,n] k
なので、この最右辺の各 Σ に教科書に載っている公式を使って、
S(n) = (2/6)(1/4)(n^2)(n+1)^2 + (3/6)(1/6)n(n+1)(2n+1) + (1/6)(1/2)n(n+1)
　　= (1/12)n{ (n + 1)^2 }(n + 2) になります。

Σ[k=1,n] k^3 の公式とか覚えてないよ！ という人向けには、
この公式の導き方もありますが、その説明要ります？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/09/12 19:20

a(k)=Σ_{j=1～k}1/j^2=(1/6)k(k+1)(2k+1)

S(n)
=Σ_{k=1～n}a(k)
=Σ_{k=1～n}(1/6)k(k+1)(2k+1)
=Σ_{k=1～n}(1/6)(2k^3+3k^2+k)
=(1/3)Σ_{k=1～n}k^3+(1/2)Σ_{k=1～n}k^2+(1/6)Σ_{k=1～n}k
=(1/12)n^2(n+1)^2+(1/12)n(n+1)(2n+1)+(1/12)n(n+1)
=(1/12)n(n+1){n(n+1)+2n+2}
=(1/12)n(n+1)(n+1)(n+2)
=(1/12)n(n+2)(n+1)^2

No.1 回答者： ケムケム地層 回答日時： 2022/09/12 18:05

an自体をSnで表して、ΣSnを解く。