a,b,c,d∈ℚが ad-bc=0 かつ a²+b²+3c²+3d²=3 をみたすとき a=b=0

a,b,c,d∈ℚが
ad-bc=0 かつ
a²+b²+3c²+3d²=3
をみたすとき
a=b=0
ですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/14 08:09

(a, b, c, d) = (9/10, 6/5, 3/10, 2/5) とか？

この回答へのお礼

すごい！！
ありがとうございます！

お礼日時：2022/12/14 10:01

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/14 13:22

一応メモっておきます。

(1) a,b,c,dは全部非負だと思ってよし。通分した分母をZ(Z≠0)とし、Z (a,b,c,d) = (A,B,C,D) と書くと、以下大文字は全部自然数で、
　　A²+B²+3(C²+D²)=3Z²
(2) mod 3で X²≠2なのでA≡0, B≡0 mod 3。そこで A=3A', B=3B'とおけば
　　3(A'²+B'²)+C²+D²=Z²
(3) ad=bcとはベクトル(a,b)と(c,d)が線形従属ということ。特に(A',B')が(C,D)のP倍である場合を考えると
　　(3P²+1)(C²+D²)=Z²
(4) a≠0の場合に興味があるんでP≠0とする。C²+D²=E²を満たす(C,D,E)はおなじみピタゴラス数(3,4,5), (5,12,13),…。また、3P²+1=R²を満たす(P,R)は(1,2), (4,7),…。これらのうちから(C,D,E)と(P,R)を勝手に選んで
　　Z=ER
とすれば解になる。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
仕組みまでよく理解できました。

お礼日時：2023/01/04 03:24