重積分、累次積分の問題です。 範囲の書き換えがわかりません。 グラフを書いてみるとこのような範囲にな

重積分、累次積分の問題です。
範囲の書き換えがわかりません。
グラフを書いてみるとこのような範囲になると思いました。何故間違っているのでしょうか？また正しい答えがわかる方、解説よろしくお願いします。

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/10 17:42

> 何故間違っているのでしょうか？

については、No.1で尽きているのだが、どうもさっぱり伝わってないようなのでヨコから失礼。

　ご質問の写真にはカンマ","がいくつもさりげなく書いてあるけれども、それらは（単なる区切りなんかじゃなくて）「and(かつ)」という明確な意味を持っています。論理記号で書けば"∧"です（し、論理記号で書くべきです）。すなわち、問題の領域Dは
　　　D = {(x,y) | x + y ≦ 1 ∧ 0 ≦ x ∧ 0 ≦ y}
です。一方、お書きの（誤った）答案が示す領域は
　　　E = {(x,y) | 0 ≦ x ≦ 1 ∧ 0 ≦ y ≦ 1}
です。「書き換える」ってのは、もちろん
　　E = D
でなくちゃなりません。ですが、残念ながら
　　E ≠ D
である。というわけで「なぜE ≠ Dだと言えるのか」がご質問の要点です。

　この事は、No.1の簡潔な問いで確認できます。（「入ってない」とか言ってるけど…そうじゃなくて）すなわち、
　　(2/3,2/3)∈E
だけど
　　(2/3,2/3)∉D
なのだから
　　E≠D
だとわかる。だから「間違い」なんです。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/10 01:42

重積分 ∬ f(x,y) dxdy を類似積分に変形するとき、

∫{ ∫ f(x,y) dx }dy としても ∫{ ∫ f(x,y) dy }dx としても構いませんが...
例えば ∬ f(x,y) dxdy = ∫{ ∫ f(x,y) dx }dy の形にする場合、
内側の ∫ f(x,y) dx の計算では y は固定して定数とみなします。
図の赤線を積分範囲として dx で積分するのです。
このとき x の変域は 0 から 1-y までになりますね？
だから、変形は ∬[D} xy dxdy = ∫[0,1]{ ∫[0,1-y] xy dx }dy
　　　　　　　　　　　　　= ∫[0,1]{ y ∫[0,1-y] x dx }dy
となるのです。
内側外側個々の積分の計算は、高校程度ですね？

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/09 20:48

D={0≦x,0≦y,x+y≦1}

0≦x≦1-y
0≦y≦1

∬_D(xy)dxdy
=∫_{0～1}{∫_{0～1-y}(xy)dx}dy

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/09 16:16

例えば x=y=2/3 は上の積分領域に入っているのかな?

この回答へのお礼

入ってない、、
けどそれをどうすればいいかわからんです。(･･;)

お礼日時：2023/01/09 16:20