{Ai ; i ∈ N} を位相空間 X のコンパクト集合族としたとき, ∪∞i=1 Ai はコンパ

{Ai ; i ∈ N} を位相空間 X のコンパクト集合族としたとき, ∪∞i=1 Ai はコンパクトである.

この命題は正しいでしょうか？理由とともに真偽を教えてください。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/17 21:33

k∈Nに対して

A_k={k}
V_k={x;|x-k|<1/2}
とすると
A_k={k}は1点集合だからコンパクト
A_k⊂V_k
だから
∪_{k=1～∞} A_k ⊂∪_{k=1～∞}V_k
は開被覆
∪_{k=1～∞} A_k
がコンパクトと仮定すると
∪_{k=1～∞} A_k ⊂∪_{k=1～n}V_k
となる自然数nが存在する
n+1∈∪_{k=1～∞} A_k⊂∪_{k=1～n}V_k
だから
n+1∈V_k,1≦k≦nとなるkがある
|n+1-k|<1/2だから
|n+1-k|=0だから
n+1=k,となってk≦nに矛盾するから
∪_{k=1～∞} A_k
はコンパクトでない

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2023/01/17 19:16

分かりません。