数学の論理式で ∃y [∀x [x < y]] と ∀x [∃y [x < y]] の違いってなんで

数学の論理式で
∃y [∀x [x < y]] と ∀x [∃y [x < y]] の違いってなんですか？

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/03 19:59

∃y [∀x [x < y]] の例)

y=∞,x∈R とすると

∃∞ [∀x∈R [x < ∞]]

∀x [∃y [x < y]]の例)
y=x+1 とすると

∀x [∃x+1 [x < x+1]]

No.5 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/03 19:23

普通に読めばいいだけです。

∃y (yがあって、それは） [∀x (どんなxについても）[x < y] (である）]

つまり「どんなxよりも大きい、そういうyがある」。究極の巨大なyが君臨している、という主張です。（真偽については、x=yの場合を考えれば「そんなわけあるかい」とわかります。）

∀x (どんなxについても） [∃y (yがあって、それは）[x < y]（である）]

つまり、「どんなxにも、それより大きいyがある」。上には上がいる、という主張です。言い換えれば「一番大きいやつ、というものはない」という意味ですね。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/02/03 13:48

まず、内側だけを考えてみよう。

∀x [x < y]
は y は何らかな値が入力されるものとして、
任意のxにたいして x < y は成り立つかという命題だ。
もちろんそんなことはあり得ないので偽

∃y [x < y]
は x は何らかな値が入力されるものとして、
x < y が成り立つ y が存在するかという命題。
もちろん真だ。

∃y [∀x [x < y]]
は、内側の命題はyを入力とするが、
y に関係なく偽なので、内側の命題を真にするyは存在せず
偽

∀x [∃y [x < y]]
は、内側の命題はxを入力とするが x に関係なく真なのでで
真

量化の記号の適用順番が違うと意味がまるで変ってくる
というのが「違い」

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/03 13:26

∃y ∀x P(x,y) は、

y を1個決めるとどんな x に対しても P(x,y) が成り立つ、そんな y がある
って意味で、
∀x ∃y P(x,y) は、
どんな x に対しても対応する y があって、その x,y の組で P(x,y) が成り立つ
って意味。

上だと y は全ての x に共通で、
下だと y は個々の x ごとに違ってよい。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/03 08:23

・∃y [∀x [x < y]]

あるyが存在して、どんなxに対しても x<y が成り立つ。
したがって、この命題は偽。

・∀y [∃x [x < y]]
どんなyについても、x<y を満たす xがある。
したがって、この命題は真。

No.1 回答者： kokorororo 回答日時： 2023/02/03 07:39

「∃y [∀x [x < y]]」 は「存在する y に対して、すべての x が x < y を満たす」という意味です。

一方、「∀x [∃y [x < y]]」は「すべての x に対して、存在する y で x < y を満たす」という意味です。
このように、「∃y [∀x [x < y]]」は「y の存在」に焦点が当てられていますが、「∀x [∃y [x < y]]」は「x の存在」に焦点が当てられています。