無限大における開区間閉区間

∪[n=1,∞][a+1/n,b-1/n]=(a,b)これについて先ほど正しいと回答を頂きましたが
なぜ閉区間左の端点[a+1/nがnが∞になるので1/nは0になり　閉区間にならないのですか
しつこくてすいませんがよろしくお願いいたします。

No.4 回答者： cage64 回答日時： 2023/02/07 19:29

自己流で考えずに基本に戻って証明してください。

集合A,Bについて、A=Bの証明の基本は A⊂B　と B⊃A を示すことです。
A⊂B　を示すには、Aの任意の元xがBの元でもあることを示します。
この例題の場合は、
A=∪[n=1,∞][a+1/n,b-1/n]
B=(a,b)
が集合として等しい、ということです。

A⊂Bであること：
[a+1/n,b-1/n]の元x は、a<a+1/n≦x≦b-1/n<b を満たすから、(a,b)の元でもある。
A⊃Bであること：
B=(a,b)の元xをとると、a<x<b つまり、x-a>0, b-x>0 であり、lim[n→∞]1/n=0 だから、
x-a>1/k>0 となるk、b-x>1/m となるmが取れる。
k,m よりも大きい整数nをとれば、
1/n<1/k<x-a, b-x>1/m>1/n を満たす。つまり、a+1/n<x<b-1/n だから、
x∈[a+1/n,b-1/n]　∪[n=1,∞][a+1/n,b-1/n]=A

独学であれば、最初から、このように、厳密な証明をするようにしないと、感覚だけでは理解できなくなります。

この回答へのお礼

有り難うございました
よくはわかりませんが勉強します
ご丁寧なご説明をわざわざ有り難うございました

お礼日時：2023/02/07 23:07

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/07 19:23

n=∞になる事はありません

だから
1/n=0となる事もありません

[n=1,∞]
の意味は
nは全ての自然数に変化するという意味なのであって
n=∞になるという意味ではありません

N=(全自然数の集合)

∪[n=1,∞][a+1/n,b-1/n]=(a,b)
は
∪[n∈N][a+1/n,b-1/n]=(a,b)
と
いう意味なのです

この回答へのお礼

意味が分かりました有り難うございました

お礼日時：2023/02/07 22:48

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/07 18:37

どんな自然数 n をとっても a ∈ [a + 1/n, b - 1/n] にはならないから、

a ∈ ∪[n=1,∞] [a + 1/n, b - 1/n] ではない。

∪[n=1,∞] の定義が、 x ∈ ∪[n=1,∞] Sn ⇔ ∃n, x ∈ Sn
であることを思い出そう。

この回答へのお礼

やっと意味が分かりました有り難うございました

お礼日時：2023/02/07 22:47

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/07 18:08

1/n≠0 であり、n=∞という数はありません。

この回答へのお礼

わかりました

お礼日時：2023/02/07 22:45