x^2-2xy+2y^2+2x-6y+5≧0
を証明せよ、という問題で、
(x-y+1)^2+(x-2)^2≧0
よりとただ書いてあっただけだったんですけど、
どうやって、導けばよいのでしょうか?

A 回答 (4件)

その答はまちがっています。

因数分解の公式を使い、

z = x^2-2xy+2y^2+2x-6y+5 とおくと、
z = (x^2-2xy+y^2)+y^2+2x-6y+5
z = (x-y)^2 +y^2+2x-6y+5

と変形して、残りを2乗の形に取り込めないか考えると

z = {(x-y)^2+2(x-y)+1}+y^2-4y+4
z = (x-y+1)^2+(y-2)^2

となります。
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おそらく、


(x-y+1)^2+(y-2)^2≧0
===
の誤植でしょう。

x^2 , -2xy , +2y^2 + 2x
などから、
(x-y+1)^2 が推出され、
元の式から (x-y+1)^2 を引くと
y^2-4y+4 が残ります。
これは、(y-2)^2 です。

(x-y+1)^2 も (y-2)^2 もいずれも 0以上の
値となるので、これで元の式が正しいことが証明されます。

ずっと昔の経験ですが、数学の問題集は、問題文も回答も結構誤植があって質問者様と同じで悩んだ記憶があります。
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この回答へのお礼

みなさん、ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/16 23:00

(x-y+1)^2+(y-2)^2≧0



の後は、実数の2乗は0以上の値をとるので、

(x-y+1)^2
(x-2)^2

はいずれも0以上になります。

その後、0以上の数と、0以上の数を足してもやはり、0以上となり証明されることになります。
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x^2-2xy+2y^2+2x-6y+5=(x-y+1)^2+(x-2)^2ではなく、x^2-2xy+2y^2+2x-6y+5=(x-y+1)^2+(y-2)^2を示すのだと思います。



x^2-2xy+2y^2+2x-6y+5をxについて整理して
x^2-(2y-2)x+2y^2-6y+5={x^2-2(y-1)x+(y-1)^2}+{2y^2-6y+5-(y-1)^2}
小刻みに計算すると

x^2-2(y-1)x+(y-1)^2=(x+y-1)^2
2y^2-6y+5-(y-1)^2=2y^2-6y+5-y^2+2y-1=y^2-4y+4=(y-2)^2
ですから

x^2-2xy+2y^2+2x-6y+5=(x-y+1)^2+(y-2)^2
となるのです。
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