不等式

ある正の実数x,yに対し、√x+√y<=k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を求めよ

質問者からの補足コメント

• 

  次のように考えてみました
  
  https://imgur.com/a/fFmgzcg

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/02/13 17:38

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/02/13 19:00

https://imgur.com/a/fFmgzcg
その答案は、相加相乗平均の誤用あるあるです。
リンク先で 2・⁴√{ (x/(2x+y))(y/(2x+y)) } となってる箇所が
定数になる場合しか、その方法で最小値は求められません。

相加相乗平均の関係は、f(x,y) と 2・⁴√{ (x/(2x+y))(y/(2x+y)) } の
大小関係しか示していないので、 x = y 以外の場所で
f(x,y) > 2・⁴√{ (x/(2x+y))(y/(2x+y)) } ではあるけれど f(x,y) < 2/√3
になるような x, y が無いかどうかについて何も情報が無いからです。

２変数だと図が書きにくいが、１変数の場合にこんな図が説明に使われますね。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/02/14 08:05

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/13 21:09

ある正の実数x,yに対して

k_0=(√x+√y)/√(2x+y)

とすると

√x+√y=(k_0)√(2x+y)

k=k_0のとき

√x+√y≦k√(2x+y)
が
成り立つ

√x+√y≦k√(2x+y)
が
成り立つような任意の実数kに対して

k_0=(√x+√y)/√(2x+y)≦k
だから

k_0=(√x+√y)/√(2x+y)
は

√x+√y≦k√(2x+y)
が
成り立つような任意の実数kの最小値である

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/02/14 08:04

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/13 20:31

補足について。

それではダメっすね。

ある正の実数x,yについて、√x+√y<=k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値は？（たとえば x=3, y = 5なら？ x=6, y = 2なら？ 一般に 正の実数x,yのときkの最小値はどうなるの？）

ということを尋ねている問題です。だからkの最小値はx, yの関数になるはずです。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/02/14 08:05

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/13 19:59

k≧(√x+√y)/√(2x+y)

x>0 なので、u=√(y/x) として
　k≧(1+u)/√(2+u²)

　f(u)=(1+u)/√(2+u²)
とおくと、
　f'(u)={√(2+u²)-(1+u)u/√(2+u²)}/(2+u²)
　　　=(2-u)/(2+u²)³/²
したがって、
　f(u)は u=2 でピークで u → 0, +∞ となるにしたがって減少。
すると最小値は境界の u=0 , +∞ だが、これらは、実数 x,y>0
の条件に反する。

つまり、kの最小値は無い。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/02/14 08:05

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/13 17:07

> ある正の実数x,y

だから、x,yは定数。あとは手を動かすだけ。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2023/02/14 08:06