三角関数が有理数のものを教えてください。

0＜θ＜π/2の範囲で、
sinθもcosθも有理数になるようなsinθとcosθは何がありますか。

次の2組は見つけました。
それ以外で教えてください。
0.28と0.96(0,96と0.28)
0.6と0.8(0.8と0.6)

そのようなsinθとcosθは無限個ありますか、有限個ですか。

質問者からの補足コメント

• 欲を言えば、循環小数にならない有理数がいいです。それも無限にありますか。

    補足日時：2023/02/24 17:56

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/24 17:40

m,n,l を自然数として

　sinθ=m/l, cosθ=n/l
とすると
　(m/l)²+(n/l)²=1
つまり、ピタゴラス数となる。この解として
　(m²-n²)²+(2mn)²=(m²+n²)²
が知られている。

つまり、m≧n として
　sinθ=(m²-n²)/(m²+n²), cosθ=2mn/(m²+n²)
しなり、無限に存在する。

No.4 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/24 18:01

失礼。

勘違いしました。

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/02/24 17:58

循環小数にならない有理数・・・・そんなもの無いよ。

No.2 回答者： ミラ-_- 回答日時： 2023/02/24 17:44

0＜θ＜π/2の範囲で、sinθとcosθが有理数になるようなθは、以下のようなものがあります。

θ = π/6 のとき
sin(π/6) = 1/2, cos(π/6) = √3/2

θ = π/4 のとき
sin(π/4) = cos(π/4) = 1/√2 = √2/2

θ = π/3 のとき
sin(π/3) = √3/2, cos(π/3) = 1/2

これらは三角関数の基本的な値であり、上記の範囲で有理数になる唯一の値です。