勝つ確率を教えてください。

AとBのチームがあって、今までの勝率はA：Bであるとします。この2チームがこれから最終決戦をします。ルールは、先にn勝した方が勝利だとすると、AがBに勝利する確率はどのぐらいですか。

質問者からの補足コメント

• これまでにAチームとBチームが対戦した結果は、AチームのA勝B敗ということです。
  
  それがよくないなら、AがBに勝った割合(確率)はPとしてください。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/03/10 20:35

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/10 21:32

AvsB で A が勝つ率が p = A/(A+B) であり、

毎回の勝敗は独立だと仮定します。

A が先に n 勝する確率は...
A が n 勝するまでに B は k 勝するとして、
q = Σ[k=0..n-1] ((n+k-1)Ck){p^(n-1)}{(1-p)^k}p
です。
式中の ((n+k-1)Ck){p^(n-1)}{(1-p)^k} が
最初の n+k-1 戦中 A が n-1 勝する確率、
その右の p が n 勝目をあげる確率を示しています。

Σ が無い式で書くのは、大変かなあ。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/03/10 20:45

No.2 です。

ああ、#2 のやり方だと、同じパターン（最終試合以外で n 勝する場合）を複数回数えてしまうことになりますね。
「最終試合でＡが勝つ」という条件にしないといけませんね。

・n 試合目でＡが優勝する（初めて n 勝する）確率：P(n) = (n-1)C(n-1) × p^(-1)n × (1 - p)^0 × p
　= (n-1)C(n-1) × p^n × (1 - p)^1
・n+1 試合目でＡが優勝する（初めて n 勝する）確率：P(n+1) = nC(n-1) × p^(n-1) × (1 - p)^1 × p
　= nCn × p^n × (1 - p)^1
・n+2 試合目でＡが優勝する（初めて n 勝する）確率：P(n+2) = (n+1)C(n-1) × p^n × (1 - p)^2
・・・
・2n-1 試合目でＡが優勝する（初めて n 勝する）確率：P(2n-1) = (2n-2)C(n-1) × p^n × (1 - p)^(n-1)

上記を全部足し合わせるということに訂正します。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2023/03/10 20:28

勝ち負けは時の運、および監督の作戦や采配、出場選手の体調などによって左右されるので、過去の勝率とは関係しません。

仮に「Ａの勝率：p=A/(A + B)」が毎回同じだとすれば、Ａが n 勝するには最低 n 試合必要なので

・n 試合目でＡが優勝する（n 勝する）確率：P(n) = nCn × p^n × (1 - p)^0
・n+1 試合目でＡが優勝する（n 勝する）確率：P(n+1) = (n+1)Cn × p^n × (1 - p)^1
・n+2 試合目でＡが優勝する（n 勝する）確率：P(n+2) = (n+2)Cn × p^n × (1 - p)^2
・・・
・2n-1 試合目でＡが優勝する（n 勝する）確率：P(2n-1) = (2n-1)Cn × p^n × (1 - p)^(n-1)
を全部足し合わせればよいです。

2n 試合目でＡが n 勝するということは、その前にＢが n 勝しているということなので対象外です。

No.1 回答者： zongai 回答日時： 2023/03/10 20:26

勝率はA：B？これがよくわからないんだけど。

A，Bはチームをあらわす記号ではないの？

ＡとＢのコレまでの成績があるのなら、
その結果から導き出したＡの勝率が、そのまま最終決戦の勝率になります。

ただし、ＡとＢに長い戦いの歴史があるのなら、その間のメンバーの出入りもあるだろうし、直近の5回分、10回分の勝率を採用しても良いかも知れません。