（2）で答えは部分分数分解を用いて和を求めるのですが、シグマを用いて求めることはできないのですか？

（2）で答えは部分分数分解を用いて和を求めるのですが、シグマを用いて求めることはできないのですか？　
またシグマを使うことができないなら、なぜ使えないのですか？

No.5 回答者： xs200 回答日時： 2023/03/27 22:34

No.4 ｘです

　= 1 - 1/(2n+1)
　= 2n/(2n-1)

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/03/27 20:19

数列の和なのだから、答えはΣを使って書けます。

問題は、その式をΣの無い式へ変形することです。
部分分数分解が登場するのは、その変形のときですよ。

Σ[k=1〜n] a_k
　= Σ[k=1〜n] 2/(4k^2 - 1)
　= Σ[k=1〜n] { 1/(2k-1) - 1/(2k+1) }
　= Σ[k=1〜n] 1/(2k-1) - Σ[k=1〜n] 1/(2k+1)
　= { 1/1 + Σ[k=2〜n] 1/(2k-1) } - { Σ[k=1〜n-1] 1/(2k+1) + 1/(2n+1) }
　= 1 + Σ[k=2〜n] 1/(2k-1) - Σ[j=2〜n] 1/(2j-1) - 1/(2n+1)
　= 1 - 1/(2n+1)
　= 2n/(2n-1).

ね、「シグマを使って」いるでしょう？

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/03/27 13:59

総和の公式が 使えるかどうかを、 実際計算してみたら。

結論から云うと 分母に k のある式は Σ の公式は 使えません。
下記が参考になるかも。
https://hiraocafe.com/note/sigmabubun.html#link1

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/03/27 12:32

シグマが使えますよ。

　Σ[k=1~n]ak = Σ[k=1~n]{2/(4k^2 - 1)}

です。

このまま n の多項式にできるかどうかは知りません。
やってみてはいかが？