整数問題４

x, y の方程式 3x+2y=n を満たす正の整数 x, y がちょうど10 組あるような
整数 n のうち最小の値を求めよ.

補足

合同式でも考えてみましたが、上手くいかず
一次関数と見立てても煩雑になるばかり、、、
識者の方の考え方を教えてください

質問者からの補足コメント

• 

  こんにちは。
  
  いつもお世話になっております。
  
  質問ですが
  
  >2(k+9)<n<3k
  
  この、k+9 は何処から来たのですか？
  
  教えてください
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/02 17:20

• 

  皆様のお陰で答案を作成する事が出来ました
  
  ご評価、ご指導ください

  
    補足日時：2023/04/03 06:15

• 

  syotao先生
  
  おはようございます
  
  ご回答ありがとうございます
  
  大変役に立ちました
  
  今回の工夫は　x+y=k の利用です
  
  容赦なく
  
  ご評価、ご指導ください
  
  from minamino

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/03 06:19

• 

  お初です
  
  宜しくお願い致します
  
  シンプルな回答ですね
  
  私は、そのようには解けませんでした
  
  以下のように考えてみました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.8の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/03 06:24

• 

  ありものがたりさん
  
  こんにちは。
  
  いつもお世話になっております。
  
  皆さんのご回答を参考に、以下の答案を作成する事が出来ました
  
  ご評価、ご指導ください

  
  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/03 06:28

• 

  詳しいご解説ありがとうございます。
  
  本当に感謝いたします。
  
  質問ですが、ご指摘部分を改めるとして、答案の⑤も間違いですか？
  
  また、どの様に
  >20≦k≦29
  
  は、導かれたのですか
  
  ご足労をかけますが、何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.10の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/03 22:44

• 

  おはようございます
  
  ご丁寧にありがとうございます。
  
  前回の質問でありました、私の答案の⑤
  
  と、その先の議論は正しいでしょうか
  
  何卒宜しくお願い致します
  
  from minamino

  No.11の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/04 06:19

• 

  詳しくご回答ありがとうございます
  
  要は、私は、丁度 10 組になる k は　19≦ k <20 に存在し
  貴殿は　k=20 で、丁度 10 になると仰りたいのですね
  
  熟考してみたいと思います
  
  今日は、体調不良で、ご返信は明日以降に致します
  
  その際はよろしくお願いします。
  
  from minamino

  No.12の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/04 17:08

• 

  こんにちは
  
  返信が遅くなりまして申し訳ございません。
  
  新たに答案を書き直しました
  
  また、補足が尽きそうなので
  
  新たな投稿をいたしました
  
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13419230.html
  
  皆様のお陰です
  
  では、ご評価、ご指導ください

  
  No.14の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/06 11:43

• 

  syotao 先生、こんにちは。
  
  病み上がりです
  
  先生のおっしゃる通り
  
  >おもしろいのはｎ＝60のときｋ1＝21、ｋ2＝29で①にふくまれる整数が
  また9個にへってしまうんですね。このへんがこの問題の複雑なところ
  でしょうか
  
  これを見て、前回の答案を書き直しました
  
  また、補足の回数が尽きかけてますので
  
  新たに、投稿しました。
  
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13419230.html
  
  では、私の答案です、ご評価下さい

  
  No.15の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/04/06 11:49

No.16 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/06 14:00

n/3<k<n/2

より
[n/3]<k<[n/2]…③
は
[n/3]≦n/3<k≦[n/2]≦n/2
だから
[n/3]<k≦[n/2]
だから
[n/3]+1≦k≦[n/2]

③を?いて
[n/2]-[n/3]>9
は

kの最小値をk1とすると
[n/3]+1≦k1<k1+9≦[n/2]
だから
9=k1+9-k1≦[n/2]-[n/3]-1
だから
[n/2]-[n/3]≧10

(ア)n=56のとき
n/3=56/3<19≦k≦27<28=n/2
だから
n/3<19≦k≦27<n/2
となる
kは27-19+1=9個<10
∴不適

n=58のとき
n/3=58/3<20≦k≦28<29=58/2=n/2
だから
n/3<20≦k≦28<n/2
となる
kは28-20+1=9個<10
∴不適

(イ)n=59のとき
n/3=58/3<20≦k≦29<59/2=n/2
だから
n/3<20≦k≦29<n/2
となる
kは29-20+1=10個=10
∴適する

この回答へのお礼

本当に親身になって教えてくださり

感謝いたします。

引き続きよろしくお願いいたします。

お礼日時：2023/04/07 23:43

No.15 回答者： syotao 回答日時： 2023/04/05 17:59

なかなかねぇ、むずかしい！

論証をととのえようとすると、本筋が見にくくなるね。
でぼくは数直線上で考えたらどうかとつぎのようにしてみました：

周知の通りｎ≧54　なのでｎ＝54から進める。
このときｎ/3＝18、ｎ/2＝27だから区間ｎ/3＜ｘ＜ｎ/2･･･①内
には８個の整数が含まれる。これら区間や整数ををすべて数直線上に
イメージする。
つぎに一般のｎについて区間①内の整数でいちばん左の整数1をｋ1、
一番右をｋ2とすればｎ＝54のときはｋ1＝19、ｋ2＝26
n＝54から出発して2進むたんびにｎ/2は1ずつ進むから
ｎ＝55、56でｋ2はひとつ進んでｋ2＝27
ｎ＝57,　58でさらにひとつ進んでｋ2＝28
ｎ＝59、60でさらにひとつ進んでｋ2＝29
一方ｎ/3のほうはｎが3つ進むごとにひとつ進むから
ｎ＝54,55,56のときｋ1は変わらず19
ｎ＝57,58,59のときひとつ進んでｋ1＝20
以上からｎ＝54から進んで区間①内に整数が初めて10個ふくまれるのは
ｎ＝59　となるわけですね。
おもしろいのはｎ＝60のときｋ1＝21、ｋ2＝29で①にふくまれる整数が
また9個にへってしまうんですね。このへんがこの問題の複雑なところ
でしょうか。

あなたの解答はその下のほうの文の趣旨がよくわかりませんでした。
ごめんなさい。

この回答へのお礼

いつも親身になってご対応頂き

心から感謝いたします。

引き続きよろしくお願いいたします。

お礼日時：2023/04/07 23:45

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/04 19:20

k=20で丁度10になるのではありません

丁度 10 組になる k は

k=20,x=59-2*20,y=3*20-59
k=21,x=59-2*21,y=3*21-59
k=22,x=59-2*22,y=3*22-59
k=23,x=59-2*23,y=3*23-59
k=24,x=59-2*24,y=3*24-59
k=25,x=59-2*25,y=3*25-59
k=26,x=59-2*26,y=3*26-59
k=27,x=59-2*27,y=3*27-59
k=28,x=59-2*28,y=3*28-59
k=29,x=59-2*29,y=3*29-59

の10組なのです

19≦ k <20　と仮定すると
kは整数だから
k=19
x=59-2*19=21,y=3*19-59=-2<0
となって
y>0に矛盾するから
19≦ k <20　は間違いです

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/04 19:08

k=20で丁度10になるのではありません

丁度 10 組になる k は

k=20,x=59-2*20,y=3*20-59
k=21,x=59-2*21,y=3*21-59
k=22,x=59-2*22,y=3*22-59
k=23,x=59-2*23,y=3*23-59
k=24,x=59-2*24,y=3*24-59
k=25,x=59-2*25,y=3*25-59
k=26,x=59-2*26,y=3*26-59
k=27,x=59-2*27,y=3*27-59
k=28,x=59-2*28,y=3*28-59
k=29,x=59-2*29,y=3*29-59

の10組なのです

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/04 11:27

19≦k<20 …⑤

は間違いで正しくは
20≦k≦29…⑤
です
結論の
n=59
だけは正しいのだけれども
なぜ
間違っている19≦k<20から
正しい
n=59
がいえるのか不明

(1≦k<10)…④　ではなく

kの最小値をk1とすると
(k1≦k≦k1+9)…④

n/3<k1≦k≦k1+9<n/2
9=k1+9-k1<n/2-n/3=n/6
だから
L=n/2-n/3=n/6≧9ではなく

L=n/2-n/3=n/6>9

n/3=(点Aのx座標)<(点Bのx座標)=k
だから
n/3<k<n/2
n/3<k1≦k≦k1+9<n/2 …(1)

k1は
k1>n/3
3k1>n
となるような最小のk1だから

3k1-1=n …(2)

k1+9は
k1+9<n/2
2(k1+9)<n
となるような最大のk1+9だから

2(k1+9)+1=n
2k1+19=n

↓これと(2)から

3k1-1=n=2k1+19
3k1-1=2k1+19
∴
k1=20 …(3)

(3)を(1)に代入すると
∴
20≦k≦29
だから
19≦k<20 …⑤ではなく

20≦k≦29 …⑤

(3)を(2)に代入すると
∴
n=59

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/04 04:08

n/3<k<n/2

kの最小値をk1とすると
n/3<k1≦k≦k1+9<n/2 …(1)

k1は
k1>n/3
3k1>n
となるような最小のk1だから

3k1-1=n …(2)

k1+9は
k1+9<n/2
2(k1+9)<n
となるような最大のk1+9だから

2(k1+9)+1=n
2k1+19=n

↓これと(2)から

3k1-1=n=2k1+19
3k1-1=2k1+19
∴
k1=20 …(3)

(3)を(1)に代入すると
∴
20≦k≦29　←…

(3)を(2)に代入すると
∴
n=59

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/03 21:42

補足(2023/04/03 06:15)

の
kの範囲は
実際には
20≦k≦29
となるのだから
(1≦k<10)…④
は
間違いです

No.9 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/03 07:10

あー、No.3 はとんでもなかった。

[1] の後、 -2k < n <-3k を満たす整数 k が 10個
になるようにするんだから、
n/3 < -k < n/2 と見て n = 59 だよね。

補足の答案とは、k の置き方が違ったね。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/04/02 21:30

訂正

11組じゃなくて10組でした(^_^;)

あるx=p、y=qが式を満たすと、
x=p+2、y=q-3
も式を満たす。

だからyの最大が28のとき
y=28、25、22、19、16、13、10、7、4、1
となって
初めて10組になる。

x=1、y=28の時nは最小だから
n=3・1+2・28=59

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/02 19:09

(x,y)

=
(n-2k ,3k-n ),2k <n<3k………①
(n-2(k+1),3(k+1)-n),2(k+1)<n<3(k+1)
(n-2(k+2),3(k+2)-n),2(k+2)<n<3(k+2)
(n-2(k+3),3(k+3)-n),2(k+3)<n<3(k+3)
(n-2(k+4),3(k+4)-n),2(k+4)<n<3(k+4)
(n-2(k+5),3(k+5)-n),2(k+5)<n<3(k+5)
(n-2(k+6),3(k+6)-n),2(k+6)<n<3(k+6)
(n-2(k+7),3(k+7)-n),2(k+7)<n<3(k+7)
(n-2(k+8),3(k+8)-n),2(k+8)<n<3(k+8)
(n-2(k+9),3(k+9)-n),2(k+9)<n<3(k+9)…②

①と②から
2(k+9)<n<3k