数学 平面ベクトルにおける「一次独立」の定義は 3つのベクトルの大きさが0でない。平行でない。 でし

数学

平面ベクトルにおける「一次独立」の定義は

3つのベクトルの大きさが0でない。平行でない。

でしたが

空間ベクトルでは

1つが他2つの1次結合では表せない。が使いされるんですか？

参考書にそう捉えられることが書いてありましたので

もしくは自分の読解力が皆無なのか

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/10 05:41

平面ベクトルで

2つのベクトルが1次独立になる事はあっても
3つ以上のベクトルが1次独立になる事はありません
平面ベクトルの
3つ以上のベクトルは必ず1次従属になります

平面(1次独立の定義)

2つのベクトル↑a,↑b
2つの実数x,y
に対して
x↑a+y↑b=0
ならば
x=y=0
となるとき
↑a、↑bは1次独立という

空間(1次独立の定義)

3つのベクトル↑a,↑b,↑c
3つの実数x,y,z
に対して
x↑a+y↑b+z↑c=0
ならば
x=y=z=0
となるとき
↑a、↑b、↑cは1次独立という

No.3 回答者： BlockedOldManAgain 回答日時： 2023/04/11 14:12

一次独立のキモは、成分表示が一意になるということです。

ベクトルが2個 →x, →y の場合、
a(→x)+b(→y) = A(→x)+B(→y) なら a = A, b = B だということ。
ベクトルが3個 →x, →y, →z の場合、
a(→x)+b(→y)+c(→z) = A(→x)+B(→y)+C(→C) なら a = A, b = B, c = C だということ。
一般に 4個以上でも同じく、
Σ[k=1からnまで] (a_k)(→x_k) = Σ[k=1からnまで] (A_k)(→x_k) なら
各 k について a_k = A_k だということ。

教科書的には、移項して
Σ[k=1からnまで] (a_k - A_k)(→x_k) = (→0) なら
各 k について (a_k - A_k) = 0 だと書いてあることが多いです。

特定の n = 2 や n = 3 の場合について
これを別の言葉で言い換えることもありますが、
内容的には同じことを言っています。

No.1 回答者： mimon01 回答日時： 2023/04/10 02:54

「空間ベクトル」の定義の方が正しくて、「平面ベクトル」の方は平面に置き換えただけです。

同じ意味です。