【至急】 x²-(a-3)x+2a+4=0が正の解と負の解をもつとき、定数aの範囲を求めよという問題

【至急】
x²-(a-3)x+2a+4=0が正の解と負の解をもつとき、定数aの範囲を求めよという問題で、二つの解をもつとき書かれているのに、D＞0がなぜ書かれていないのですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： 麻野なぎ 回答日時： 2023/04/18 20:09

おそらく、二次方程式とグラフという単元だからでしょう。

No.8 回答者： AっKI 回答日時： 2023/04/19 10:55

グラフを描いてみればよい。

『下に凸』で『y軸との交点が(x=0のときの値が）負』
であるようなグラフを。
かならずx軸と2点で交わるはずだ。

つまり、
「x=0のとき負」
という条件を考えれば、必然的にＤ＜０も
満たすことになるから、改めて条件を考える必要がない
ということになる。別にＤ＜０を考えてもよいが、
x=0のとき負の条件はＤ＜０の含んでいるので
解答上無関係。
ただし計算間違いをしていなければの話。
もし計算ミスをしてしまうと、余計なことをしたばっかりに
減点になってしまうというもったいないことになる。
余計なことはやらない方が無難。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/04/19 02:14

D > 0 を条件のひとつとして書いても別段構わないけれど、

2a +4 < 0 であるとき D > 0 が成り立つことは
計算する前から判っているから、無駄手間なんです。
「正の解と負の解をもつためには、x=0 のときの y の値が負であればよい」
って書いてあるでしょう？
x=0 のときの y の値が負であれば、二次方程式は正の解と負の解をもつ。
ふたつの解を持つのだから、D > 0 である。そういうことです。

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/19 01:11

No.5 です。

特に書かなかったけど

下の凸 の放物線である y = f(x) の y 切片が負であれば、その放物線は
・y 軸より左側で1点
・y 軸より右側で1点
の x 軸との交点（y=0 となる点）をもつ

ということは分かりますよね？

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/19 01:06

「判別式」のグラフ上での意味を理解していますか？

与えられた二次式は

f(x) = x^2 - (a - 3)x + 2a + 4
　　= [x - (a - 3)/2]^2 - (a - 3)^2 /4 + 2a + 4
　　= [x - (a - 3)/2]^2 - (1/4)a^2 + (7/2)a + 7/4

ということになります。

y = f(x) のグラフは
・下に凸の放物線
・頂点は ((a - 3)/2, -(1/4)a^2 + (7/2)a + 7/4)　　　①
・軸は x = (a - 3)/2
ということになります。

y = f(x) のグラフの「x 軸との交点 x 座標」つまり y=0 のときの x が、
　f(x) = 0
の二次方程式の解になります。
「実数解」とは「x 軸との交点 x 座標」のことであり、実数解がない場合には、グラフは x 軸とは交わらないということです。

y = f(x) が x 軸と交点を持つためには、頂点の y 座標が「x 軸の下」つまり「負」である必要があります。
①の頂点の座標から
　-(1/4)a^2 + (7/2)a + 7/4 < 0
→　(1/4)a^2 - (7/2)a - 7/4 > 0
→　a^2 - 14a - 7 > 0
これが「判別式」ということです。

つまり、二次方程式の解の判別式とは、グラフが x 軸との交点を持つための「頂点の y 座標」の条件なのです。


y = f(x) のグラフの「y 切片」つまり y 軸との交点である「2a + 4」が「負」であるということは、グラフの最小点である頂点の y 座標はそれより小さいもしくは等しいので「負」ということですから、上の「頂点の y 座標が負」という条件を確実に満たしているということです。
なので、あらためて確認するまでもないのです。

No.4 回答者： ssawatake 回答日時： 2023/04/18 22:38

>> D＞0がなぜ書かれていないのですか？

グラフを書いた時、x軸に接する事無く交わってれば、2点で交わってる事になる訳で、つまりD＞0だっていう事。

逆にD＞0ならば、グラフを書いた時にx軸と2点で交わる。

同じ事を意味してるので、わざわざD＞0を書く必要が無いのです。
(書いても間違いじゃ無いけどクド過ぎるし、解って無いなと判断される）

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/04/18 21:01

2次関数をグラフで書けば、x² の係数が 正 のときは、

必ず 下に凸な放物線になります。
従って x=0 のときに y<0 ならば、
当然 x 軸とは 異なる2点で 交わることになります。
（グラフを イメージすれば 分かると思いますよ。）

No.1 回答者： nantokanaru 回答日時： 2023/04/18 19:59

ｘ²の係数＞０（下に凸のグラフ）のとき、

頂点の値＜０（頂点がｘ軸よりも下）になると
放物線とｘ軸の交点が２つ存在します。

例として出した画像の式はｙ＝ｘ²－１６です。