2000年 大阪市立大学

実数の定数a,b(b>0)に対し,２次方程式x^2-2ax-b=0と
３次方程式x^3-(2a^2+b)x-4ab=0を考える。
この２次方程式の解のうちの１つだけが,この３次方程式の解になるための必要十分条件をaとbの関係式で表せ。
また,その共通解をaで表せ。


これはスタンダード受験編の問題なのですが、ヒントもなく、さっぱりわかりません。ずっと悩んでいるので、わかりやすく解答を説明してください。お願いします。

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/03/17 09:59

2つの方程式の共通解をαとすると、α^2-2aα-b＝0　‥‥(1)、α^3-(2a^2+b)α-4ab＝0　‥‥(2)。

(1)より、b＝α^2-2aαであるから、これを(2)に代入すると、aα*（α-3a）＝0となる。
α＝0とすると、(1)でb＝0となり条件に反する。
後は、a＝0の時と、α-3a＝0の時を調べると良い。
続きは、自分でやって。但し、計算は自信ないから、チェックしてね。

No.2 回答者： gef00675 回答日時： 2009/03/17 05:13

詳しい解き方は＃１の方が答えているので、一般的な考え方だけ。

二つの代数方程式
x^2 + Ax + B =0
x^3 + Cx^2 + Dx +E=0
の共通解を探すためには、この２つの方程式をうまく使ってxの高次の項を順に消去していくとよいです。そのためには、形式的にもう一つ式を追加して、
x^2 + Ax + B =0
x^3 + Ax^2 + Bx =0　（←上の２次式にxをかけただけ）
x^3 + Cx^2 + Dx +E=0
を、x^3, x^2, xを変数とする３元連立方程式のように扱って、x^3, x^2を消去していくと、最後に
□x+△=0
の形の式が残ります。（必要条件）
もちろん、これだけではまだ共通解であるとはいえませんから、このαが実際に共通解になることを確かめねばなりません。この問題では、係数が未定なので、x=αを元の式
x^2 + Ax + B =0
x^3 + Cx^2 + Dx +E=0
に代入すれば、係数A～Eの関係が決まります。（十分条件）
あと、この問題は共通解が１つ、とあるので、そのことも確かめておきます。

上のような共通解の求め方を一般化すると、「終結式」という理論に到達します。入試問題には、大学で教える数学を簡単化したものが出ることがあるようなので、興味があれば終結式を調べてみるとよいと思います。

No.1 回答者： tsukita 回答日時： 2009/03/17 02:07

他に良解があるかもしれませんが…

説明のために、
Ａ：x^2-2ax-b=0
Ｂ：x^3-(2a^2+b)x-4ab=0
とおきます。

まず、これから何をしなければならないのかを整理します。

問題は「Ａの解の１つだけがＢの解になるための必要十分条件であるaとbの関係式は何か？」ということですね。aとbの関係式を求めよということですので、この関係式を説明のためにＣと表すことにします。

【やることその(1)】
まず取り組まなければならないことは、“ＡとＢがただ１つの共通の解を持つ”という条件からＣを求めることです。
【やることその(2)】
ただし、(1)だけでは不十分です。“必要十分条件”といっていますので、Ｃが解った後で、“aとbの間に関係式Ｃが成り立つとき、ＡとＢはただ１つの共通の解を持つ”ことを確認しなければなりません。


ここまではうまく説明できていますでしょうか…？
※Ｃを求めると安心してしまって、【やることその(2)】を忘れてしまう方が多いと思いますが、これは大事なことです！

さて、具体的な解答なのですが、全部は説明しませんね。不親切ですみませんが、なるべく自分で考えて力をつけて欲しいので。

【やることその(1)】の解き方

ＡとＢに共通の解があるといっていますので、それをαなどの記号でおいてみます。そうすると、ＡとＢから、文字a,b,αを使った式が２本できますね。
Ａ’：α^2-2aα-b=0
Ｂ’：α^3-(2a^2+b)α-4ab=0
さらにα≠0です（◆）ので、Ａ’の両辺にαをかけて（方程式で両辺に0をかけたり、両辺を0でわるのはＮＧです！）
Ａ”：α^3-2aα^2-bα=0
Ｂ’：α^3-(2a^2+b)α-4ab=0
が得られます。この２本の式から
aα^2=a^2α+2ab
が成り立ちます。

さて、ここでa≠0です（◆）ので、両辺をaでわることができます。
α^2=aα+2b

この式と、上記の
Ａ’：α^2-2aα-b=0　つまり　α^2=2aα+b
から
aα+2b=2aα+b
が得られます。
これをαについて解くと、
α＝b/a
ということがわかります。

これをＡに代入します。
すると
（b/a）^2-2b-b=0
b^2-3a^2b=0
でさらに問題文の過程よりb≠0ですので、両辺をbで割って
b=3a^2
という関係式が得られました。これが求める関係式Ｃです。

【やることその(2)】
これまでで、関係式Ｃ：b=3a^2が具体的にわかりました。
あとは、この関係式が成り立つときに、ＡとＢがただ１つの共通解を持つことを示してください。


※すべて解答してあげることは教えてgooのポリシーではないので、少しだけ課題を用意しました。（どうしてもダメなときはまた聞いてくださいね）
・【やることその(2)】は自力でやってみてください。ただ１つの共通解は具体的には3aです。3aになることを自分でも確認してくださいね！
・【やることその(1)】の説明で（◆）がついた２つの条件についても考えてみてください。

※他にも良い考え方があるかもしれませんので、参考程度にお願いします。