
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
ガウスの代数学の基本定理からわかるのです.
ガウスの代数学の基本定理はいろんな言い方があるけれど,この問題に使うには
「実数係数のすべてのn次の多項式は
実数係数の 1次式,2次式の積に因数分解される.」
したがって,3次式は実数の範囲で1次式3つ(実数解)に因数分解されるか,1つの1次式(実数解)と1つの2次式(共役な虚数解)に因数分解される.
だから1つは実数解 p で残りの2つは共役な虚数解.

No.3
- 回答日時:
実数を係数とする3次方程式は少なくとも1つは必ず実数解をもちます(3次関数グラフを考えることにより理解できる)。
よって、
ax^3+bx^2+cx+d=0という3次方程式は
a(x-α)(x^2+px+q)=0の形に変形できます。
※α,p,qはすべて実数
また、x^2+px+q=0の2解は、「異なる3つの解の実部がすべて等しい」という条件より異なる2つの虚数解となり、x^2+px+q=0に解の公式を適用することを考えれば、その解は、
x=m±ni(m,nは実数)と表せ、
よって、元の3次方程式の解は
x=α,m±niとなり、
再び「異なる3つの解の実部がすべて等しい」という条件より、
α=mとなり、よって解は
x=m,m±niとなります。
あとは、この3解で解と係数の関係を考えればaが出てくるでしょう。
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